Mathematik
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Es wird eine Einführung in den Satz von Belyi und Grothendiecks Dessins d'enfants gegeben, hier Kinderzeichnungen genannt. Dieses Arbeitsgebiet ist in den letzten zwanzig Jahren entstanden und weist viele reizvolle Querverbindungen auf von der inversen Galoistheorie über die Teichm llerräume bis hin zur Mathematischen Physik. Das Schwergewicht des folgenden Beitrags liegt in den Beziehungen zu den Fuchsschen Gruppen und der Uniformisierungstheorie: Kinderzeichnungen bieten die Möglichkeit, für arithmetisch interessante Riemannsche Flächen - die als algebraische Kurven über Zahlkörpern definiert sind - Überlagerungsgruppen explizit zu beschreiben und umgekehrt aus gewissen Typen von Überlagerungsgruppen Kurvengleichungen zu gewinnen. Was hier aufgeschrieben ist, behandelt eigentlich nur bekanntes Material, gelegentlich mit neuen Beweisvarianten und Beispielen. Da aber noch keine zusammenfassende Einführung in das Thema existiert, hoffe ich, dass es als Vorlage für ein Seminar oder eine fortgeschrittene Vorlesung nützlich sein mag.
The main subject of this survey are Belyi functions and dessins d'enfants on Riemann surfaces. Dessins are certain bipartite graphs on 2-mainfolds defining there are conformal and even an algebraic structure. In principle, all deeper properties of the resulting Riemann surfaces or algebraic curves should be encoded in these dessins, but the decoding turns out to be difficult and leads to many open problems. We emphasize arithmetical aspects like Galois actions, the relation to the ABC theorem in function filds and arithemtic questions in uniformization theory of algebraic curves defined over number fields.
Presentation at the AMS Southeastern Sectional Meeting 14-16 March 2003, and the Workshop Asymptotic Analysis, Stability, and Generalized Functions', 17-19 March 2003, Louisiana State University, Baton Rouge, Louisiana. See the corresponding papers "Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey of the Schwinger Model" and "Infinite Infrared Regularization and a State Space for the Heisenberg Algebra".
Presentation at the Università di Pisa, Pisa, Itlay 3 July 2002, the conference on Irreversible Quantum Dynamics', the Abdus Salam ICTP, Trieste, Italy, 29 July - 2 August 2002, and the University of Natal, Pietermaritzburg, South Africa, 14 May 2003. Version of 24 April 2003: examples added; 16 December 2002: revised; 12 Sptember 2002. See the corresponding papers "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras", "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics" and "Mathematics of the Quantum Zeno Effect"
Diese Arbeit beschäaftigt sich mit den Eigenschaften dynamischer Systeme, die in Form von autonomen Differentialgleichungen vorliegen. Genauer: Das Langzeitverhalten dieser dynamischen Systeme soll untersucht werden. Es läßtt sich beschreiben durch für das jeweilige System charakteristische Mengen, die attrahierenden Mengen und deren Einzugsbereiche. Attrahierende Mengen sind bezüglich eines dynamischen Systems invariante Mengen, die Trajektorien des dynamischen Systems, die in ihrer Umgebung starten, anziehen. Der Einzugsbereich einer attrahierenden Menge ist die Menge aller Punkte, die von der attrahierenden Menge angezogen werden. Betrachtet werden Systeme, die von einer Eingangsfunktion abhängen. Diese Eingangsfunktion kann je nach Zusammenhang eine Störung des dynamischen Systems oder eine Kontrolle desselben darstellen. Werden Störungen betrachtet, so sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die für alle Eingangsfunktionen gelten, zu untersuchen. Diese werden in dieser Arbeit als starke Eigenschaften bezeichnet. Werden Kontrollen betrachtet, sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die nur für mindestens eine Eingangsfunktion erfüllt sind, zu untersuchen. Sie werden hier als schwache Eigenschaften bezeichnet. Man betrachte beispielsweise einen Punkt, der zu einer invarianten Menge gehört. Zu jeder Eingangsfunktion gibt es eine zugehörige Trajektorie, die an diesem Punkt startet. Starke Invarianz bedeutet, daß keine dieser Trajektorien jemals die invariante Menge verläßt, schwache Invarianz, da mindestens eine dieser Trajektorien niemals die invariante Menge verläßt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der schwachen Einzugsbereiche. Sie lassen sich nur in Ausnahmefällen durch theoretische Überlegungen finden. Daher ist es von Nutzen, diese Mengen numerisch zu berechnen. Hier soll deshalb die benötigte Theorie bereitgestellt werden, um schwache Einzugsbereiche mit einem Unterteilungsalgorithmus anzunähern. Ein Unterteilungsalgorithmus dient allgemein dazu, innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge eine Menge, die eine bestimmte Eigenschaft hat, zu finden. Die Idee eines solchen Algorithmus ist es einfach, die Grundmenge in "Zellen" zu unterteilen und für jede dieser Zellen zu prüfen, ob sie ganz, gar nicht oder teilweise zur gesuchten Menge gehört. Gehört eine Zelle nur teilweise zur gesuchten Menge, so wird sie weiter unterteilt und für die "Teilzellen" erneut entschieden, ob sie zur gesuchten Menge gehören. Für die Berechnung eines schwachen Einzugsbereiches bedeutet dies, daß für jede Zelle überprüft werden muß, ob es eine Kontrollfunktion gibt, mit deren Hilfe Trajektorien der betrachteten Differentialgleichung, die innerhalb der Zelle starten, in eine gegebene schwach attrahierende Menge (bzw. eine passend gewählte Umgebung dieser Menge) gesteuert werden können.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Ermittlung des Preises von Optionen. Optionen sind spezielle Derivate, die wiederum Hull in seinem Buch definiert als: Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert von einem anderen, einfacheren zu Grunde liegenden Finanzinstrument (underlying) abhängt . Ein underlying kann unter anderem auch eine Anleihe, eine Aktie oder der Umtauschkurs zweier Währungen sein....
In der vorliegenden Arbeit werden Aspekte autonomer und nichtautonomer dynamischer Systeme behandelt, wobei Attraktoren und verwandte Objekte eine wichtige Rolle spielen werden. Zunächst findet man in einem Kapitel über dynamische Systeme die Definition der grundlegenden Begriffe Attraktor, Repeller und Schiefproduktfluss, gefolgt von zwei hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Attraktoren. Mit den Attraktoren und Repellern können dann im nächsten Kapitel Morsemengen eingeführt werden. Dadurch kann das Verhalten eines dynamischen Systems qualitativ beschrieben werden. Des weiteren wird auf die Bedeutung der Kettenrekurrenzmenge für die Morsemengen eingegangen. Im Kapitel über Kontrolltheorie wird, nach einer kurzen Einführung in dieses Gebiet, gezeigt, dass der dort definierte Lift einer Kettenkontrollmenge unter gewissen Voraussetzungen eine Morsemenge ist. Im letzten Kapitel geht es um Pullback-Attraktoren, die unter den angegebenen Bedingungen als Attraktoren für den Schiefproduktfluss interpretiert werden können.
Staatsexamensarbeit 2002. In der nachfolgenden Arbeit werde ich im zweiten Kapitel theoretisch fraktionale Ableitungen vorstellen, um dann im dritten Kapitel praktisch mit MAPLE fraktionale Ableitungen zu veranschaulichen. Genauso werde ich auch das Gebiet der fraktionalen Differentialgleichungen einführen, d.h. zuerst wird ein theoretischer Teil über Lösungsmethoden behandelt und darauf folgend ein praktischer Teil, in dem mittels MAPLE diverse Gleichungen gelöst werden. Das zweite Dokument enthält MAPLE Programme aus der Arbeit (ZIP-Format, 145154 Bytes).
In this short note on my talk I want to point out the mathematical difficulties that arise in the study of the relation of Wightman and Euclidean quantum field theory, i.e., the relation between the hierarchies of Wightman and Schwinger functions. The two extreme cases where the reconstructed Wightman functions are either tempered distributions - the well-known Osterwalder-Schrader reconstruction - or modified Fourier hyperfunctions are discussed in some detail. Finally, some perpectives towards a classification of Euclidean reconstruction theorems are outlined and preliminary steps in that direction are presented.
We reconsider estimates for the heat kernel on weighted graphs recently found by Metzger and Stollmann. In the case that the weights satisfy a positive lower bound as well as a finite upper bound, we obtain a specialized lower estimate and a proper generalization of a previous upper estimate. Reviews: Math. Rev. 1979406, Zbl. Math. 0934.46042
We present an overview of the mathematics underlying the quantum Zeno effect. Classical, functional analytic results are put into perspective and compared with more recent ones. This yields some new insights into mathematical preconditions entailing the Zeno paradox, in particular a simplified proof of Misra's and Sudarshan's theorem. We empahsise the complex-analytic structures associated to the issue of existence of the Zeno dynamics. On grounds of the assembled material, we reason about possible future mathematical developments pertaining to the Zeno paradox and its counterpart, the anti-Zeno paradox, both of which seem to be close to complete characterisations. PACS-Klassifikation: 03.65.Xp, 03.65Db, 05.30.-d, 02.30.T . See the corresponding presentation: Schmidt, Andreas U.: "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras" and "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics"
We study the quantum Zeno effect in quantum statistical mechanics within the operator algebraic framework. We formulate a condition for the appearance of the effect in W*-dynamical systems, in terms of the short-time behaviour of the dynamics. Examples of quantum spin systems show that this condition can be effectively applied to quantum statistical mechanical models. Furthermore, we derive an explicit form of the Zeno generator, and use it to construct Gibbs equilibrium states for the Zeno dynamics. As a concrete example, we consider the X-Y model, for which we show that a frequent measurement at a microscopic level, e.g. a single lattice site, can produce a macroscopic effect in changing the global equilibrium. PACS - Klassifikation: 03.65.Xp, 05.30.-d, 02.30. See the corresponding papers: Schmidt, Andreas U.: "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras" and "Mathematics of the Quantum Zeno Effect" and the talk "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics" - http://publikationen.ub.uni-frankfurt.de/volltexte/2005/1167/
The dynamical quantum Zeno effect is studied in the context of von Neumann algebras. It is shown that the Zeno dynamics coincides with the modular dynamics of a localized subalgebra. This relates the modular operator of that subalgebra to the modular operator of the original algebra by a variant of the Kato-Lie-Trotter product formula.
We present a method for the construction of a Krein space completion for spaces of test functions, equipped with an indefinite inner product induced by a kernel which is more singular than a distribution of finite order. This generalizes a regularization method for infrared singularities in quantum field theory, introduced by G. Morchio and F. Strocchi, to the case of singularites of infinite order. We give conditions for the possibility of this procedure in terms of local differential operators and the Gelfand-Shilov test function spaces, as well as an abstract sufficient condition. As a model case we construct a maximally positive definite state space for the Heisenberg algebra in the presence of an infinite infrared singularity. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey of the Schwinger Model" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces"