Mathematik
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Ziel dieser Arbeit war es, ein sicheres und trotzdem effizientes Preprocessing zu finden. Nach den zurückliegenden Untersuchungen können wir annehmen, dies erreicht zu haben. Wir haben gezeigt, daß eine minimale Workload von Attacken von 272 mit nur 16 Multiplikationen pro Runde und 13 gespeicherten Paaren (ri, xi) erreicht werden kann. Mit der in Abschnitt 12.3 erklärten Variation - der Wert rº k geht nicht in die Gleichungen mit ein - erreichen wir sogar eine Sicherheit von 274. In diesem Fall können wir die Anzahl der gespeicherten Paare auf 12 verringern. Auch von der in Abschnit 12.5 besprochenen Variation erwarten wir eine Erhöhung der Sicherheit. Ergebnisse dazu werden bald vorliegen. Folgender Preprocessing Algorithmus erscheint z.B. nach unserem derzeitigen Wissensstand geeignet: Setze k = 12, l0 = 7, l1 = 3, d0 = 4, d1 = 5, h = 4, ¯h = 1. Initiation: lade k Paare (r0 0, x00 ) . . . , (r0 k 1, x0 k 1) mit x0i = ®r0 i mod p. º := 1. º ist die Rundennummer 1. Wähle l1 2 verschiedene Zufallszahlen a(3, º), . . . , a(l1, º) 2 {º + 1 mod k, . . . , º 2 mod k} a(1, º) := º mod k, a(2, º) := º 1 mod k W¨ahle l1 2 verschiedene Zufallszahlen f(3, º), . . . , f(l1, º) 2 {0, . . . , d1 1}, f(1, º) zuf¨allig aus {h, . . . , d1 1} und f(2, º) zuf¨allig aus {¯h, . . . , d1 1} rº k := rº ºmodk + l1 Xi=1 2f(i,º)rº 1 a(i,º) mod q xk = xºº modk · l1 Yi=1 (xº 1 a(i,º))2f(i,º) mod p 2. w¨ahle l0 1 verschiedene Zufallszahlen b(2, º), . . . , b(l0, º) 2 {º + 1 mod k, . . . , º 1 mod k} b(1, º) := º mod k W¨ahle l0 verschiedene Zufallszahlen g(1, º), . . . , g(l0, º) 2 {0, . . . , d0 1} rº ºmodk := l0 Xi=1 2g(i,º)rº 1 b(i,º) mod q xºº modk = l0 Yi=1 (xº 1 b(i,º))2g(i,º) mod p 3. verwende (rº k, xº k) f¨ur die º te Signatur (eº, yº) gem¨aß yº = rº k + seº mod q 4. º := º + 1 GOTO 1. f¨ur die n¨achste Signatur Die Zufallszahlen a(3, º), . . . , a(l, º), b(2, º), . . . , b(l, º), f(1, º), . . . , f(l, º) und g(1, º), . . . , g(l, º) werden unabhängig gewählt. Dies ist selbstverständlich nur ein Beispiel. Unsere Untersuchungen sind noch nicht abgeschlossen. Wir glauben aber nicht, daß feste Werte a(i, º) und b(i, º) ein effizientes Preprocessing definieren. Wir haben einige Variationen mit solchen weniger randomisierten Gleichungen studiert und immer effiziente Attacken gefunden.
Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : II.
(1921)
Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : I.
(1919)
Über die Anzahlfunktion π(x)
(1999)
Bereits Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Euler zeigte die qualitative Aussage ¼(x) x ! 0 bei x ! 1. Legendre definierte als erster die Anzahlfunktion ¼(x) als die Anzahl aller Primzahlen · x, (x 2 R) und vermutete irrtümlicherweise, dass ¼(x) = x log(x)¡B; wobei lim x!1 B(x) = 1; 083 66 : : : ist. Gauss vermutete, dass die Funktionen ¼(x) und li(x) := lim "!0 ">0 0@ u=1¡" Z u=0 du log(u) + u=x Z u=1+" du log(u)1A asymptotisch Äquivalent sind. Tschebyschew konnte die Legendresche Vermutung widerlegen; außerdem bewies er: Wenn der Grenzwert lim x!1 ¼(x) x log(x) existiert, so muss dieser gleich 1 sein. Dank wegweisender Vorarbeiten von Riemann, gelang es im Jahr 1896 unabhängig voneinander und nahezu zeitgleich Hadamard und De La Vallee Poussin, den Primzahlsatz analytisch zu beweisen. Beide verwendeten entscheidend die Tatsache, dass die Zetafunktion ³ in der Halbebene Re(s) ¸ 1 nicht verschwindet. Die Beweise waren zuerst so lang und kompliziert, dass sie heutzutage nur noch einen historischen Wert besitzen. Es dauerte weitere 84 Jahre bis der Beweis so vereinfacht werden konnte, dass er nur wenige Seiten in Anspruch nimmt. Ein wichtiger Verdienst kommt hierbei der Arbeit von Newman aus dem Jahre 1980 zu. Lange Zeit wurde es für kaum möglich gehalten, einen Beweis des Primzahlsatzes zu finden, der ohne eine gewisse Kenntnis der komplexen Nullstellen der Zetafunktion auskommt. Und doch glückte 1948 ein solcher Beweis durch Selberg und Erdös mit elementaren Mitteln. Erwähnenswert dabei, dass der Beweis noch lange nicht einfach ist. Uns schienen die analytischen Beweise durchsichtiger zu sein. Daher haben wir in dieser Arbeit auf einen elementaren Beweis verzichtet. Der analytischen Weg zum Primzahlsatz von Newman kommt einerseits mit Integration längs endlicher Wege (und der Tatsache ³(s) 6= 0 in ¾ ¸ 1) aus, umgeht also Abschätzungen bei 1; andererseits ist er frei von Sätzen der Fourier-Analysis. Beim Beweis des Primzahlsatzes von Wolke benutzt man anstelle von ³0(s) ³(s) die Funktion ³ 1 k mit großen k. Wegen des Pols bei s=1 bringt dies bei der Integration leichte Komplikationen, hat aber den Vorteil, dass außer der Nullstellen-Freiheit keine nichttriviale Abschätzung für ³ oder ³0 erforderlich ist. Dank der elementaren Äquivalenz zwischen dem Primzahlsatz und der Konvergenz von 1Pn=1 ¹(n) n brauchte Newman nur die Konvergenz von 1Pn=1 ¹(n) n zu zeigen. Dies erreichte er mit Hilfe seines Konvergenzsatzes. Die Legendresche Formel, die auf dem Sieb des Eratosthenes basiert, erlaubt die exakte Berechnung von ¼(x), wenn alle px nicht übersteigenden Primzahlen bekannt sind. Diese prinzipielle Möglichkeit zur Ermittlung von ¼(x) ist in der Praxis natürlich stark limitiert durch die mit x rasch anwachsende Anzahl der rechts in der Legendresche Formel zu berücksichtigenden Summanden. Mit verfeinerten Siebtechniken haben verschiedene Autoren zur Legendresche Formel analoge Formeln ¼(x) ersonnen, bei denen der genannte Nachteil von Legendresche Formel sukzessive reduziert wurde. Zu erwähnen sind hier vor allem Meissel, Lehmer, sowie Lagarias, Miller und Odlyzko. Aus den Graphen von R(x)¡¼(x); li(x)¡¼(x) und x log(x) ¡¼(x) für den betrachteten Bereich x · 1018 konnten wir feststellen, dass R(x); li(x) sowie x log(x) die Anzahlfunktion Pi (x) annähern, wobei R(x) die beste Approximation für Pi(x) von allen drei ist.
Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit stehen die Nullstellen der nach Bernhard Riemann benannten Riemannschen Zetafunktion ..(s). Diese Funktion kann für komplexes s mit Res > 1 durch ...(s) = 1 X n=1 1 ns (1.1.1) dargestellt werden. Für andere Werte von s ist ...(s) durch die analytische Fortsetzung der Dirichlet-Reihe in (1.1.1) gegeben. Die ...-Funktion ist in der ganzen komplexen Ebene holomorph, mit Ausnahme des Punktes s = 1, wo sie einen einfachen Pol besitzt. Diese und weitere Eigenschaften von ...(s) setzen wir in dieser Arbeit als bekannt voraus, näheres findet man beispielsweise in [Tit51] oder [Ivi85]. Bereits Euler betrachtete, beispielsweise in [Eul48, Caput XV], die Summe in (1.1.1), allerdings vor allem für ganzzahlige s ... 2. Von ihm stammt die Gleichung 1 X n=1 1 ns =.... die für alle komplexen s mit Res > 1 gültig ist. Dieser Zusammenhang zwischen der ...-Funktion und den Primzahlen war Ausgangspunkt für Riemanns einzige zahlentheoretische, aber dennoch wegweisende Arbeit \ Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." ([Rie59]). In dieser 1859 erschienenen Arbeit erkannte Riemann als erster die Bedeutung der Nullstellen der ...-Funktion für die Verteilung der Primzahlen. Bezüglich dieser Nullstellen sei jetzt nur so viel gesagt, daß ...(s) einfache Nullstellen an den negativen geraden Zahlen .... besitzt, und, daß alle weiteren, die sogenannten nicht-trivialen Nullstellen, im kritischen Streifen 0 < Res < 1 liegen. Diese letzteren | unendlich vielen | Nullstellen sind gerade für den Primzahlsatz, also für die Beziehung ...(x) ... li(x);
In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die Verteilung der Nullstellen Dirichletscher L-Reihen auf oder in der Nähe der kritischen Geraden. Diese Funktionen und ihre Nullstellen stehen im Mittelpunkt des Interesses bei einer Vielzahl klassischer zahlentheoretischer Fragestellungen; beispielsweise besagt die Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung, daß sämtliche Nullstellen dieser Funktionen auf der kritischen Geraden liegen. Unsere Ergebnisse gehen unter anderem über die besten bislang bekannten Abschätzungen - für den Anteil der Nullstellen der Dirichletschen L-Reihen, die auf der kritischen Geraden liegen, - für den Anteil einfacher beziehungsweise m-facher Nullstellen sowie - über Nullstellen in der Nähe der kritischen Geraden hinaus. Wir setzen hiermit Arbeiten von A. Selberg, N. Levinson, J. B. Conrey und anderen fort und verallgemeinern Ergebnisse, die für die Riemannsche #-Funktion gültig sind, auf alle Dirichletschen LReihen beziehungsweise verbessern bisherige Resultate. Nach einer ausführlicheren Darstellung der Hintergründe zeigen wir einen Satz über Mittelwerte "geglätteter" L-Reihen, d.h. mit einem geeigneten Dirichlet-Polynom multiplizierte L-Reihen. Solche Mittelwertsätze stellen ein wesentliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Nullstellenverteilung dar. Die in unserem Hauptsatz gegebene asymptotische Darstellung dieses Mittelwertes können wir dann nutzen, um die genannten Ergebnisse herzuleiten.
Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus dem Gebiet der Fuchsschen Gruppen. Das Problem, das hier geklärt werden soll, entspringt einer im Jahre 2005 erschienenen Arbeit über Konjugatoren Fuchsscher Gruppen und quasiplatonische Riemannsche Flächen von Jürgen Wolfart und Ernesto Girondo [GW05]. Es ist dort ein alternativer geometrischer Weg gewählt worden, um es zu umgehen, und es soll nun hier mit den bereits 1970 bereitgestellten Methoden zur Fragestellung der Existenz von Untergruppen Fuchsscher Gruppen von David Singerman [SIN70] gelöst werden. Betrachtet man eine Dreiecksgruppe $Delta_{1}$ als Untergruppe einer Dreiecksgruppe $Delta_{2}$, so kann es vorkommen, dass diese Inklusion eine Verfeinerung durch eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta$ gestattet. In den Fällen, in denen zu einer gegebenen Dreiecksgruppe $Delta_{2}$ voneinander verschiedene Untergruppen gleicher Signatur $Delta_{1},Delta_{1}Apostroph,...$ existieren, ist es nicht a priori klar, dass es eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gleicher Signatur zu jeder dieser verschiedenen Untergruppen gibt. Das Ziel dieser Arbeit ist es nun, dies zu klären, d.h. zu zeigen, dass es für jedes Paar Dreiecksgruppen $Delta_{1}subseteqDelta_{2},Delta_{1}ApostrophsubseteqDelta_{2},...$ eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gibt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine grobe Einleitung in die Theorie der Diskontinuierlichen Gruppen gegeben, die sehr stark auf Fuchssche Gruppen abzielt und mit deren Verbindung zu Riemannschen Flächen abschließt. Sie orientiert sich sehr stark an einem Standardwerk über Diskontinuierliche Gruppen von Joseph Lehner [LEH64]. Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns ganz den Untergruppen Fuchsscher Gruppen und dem von David Singerman [SIN70] bereitgestellten Apparat, der eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür aufzeigt. Wie David Singerman auch zeigt, lassen sich diese Methoden für Normalteiler und Dreiecksgruppen spezialisieren. Wir werden uns dem auch annehmen. Abschließend erarbeiten wir dann eine ausführliche Methode und somit auch einen Beweis zur Erlangung der kompletten Liste von Inklusionen Fuchsscher Dreiecksgruppen, wie sie sich in einer weiteren Arbeit David Singermans befindet [SIN72]. Dies geschieht mit Hilfe zweier Maple-Programme deren Quellcode und Ausgabe sich im Anhang bzw. vierten Teil dieser Arbeit zur Einsicht bendet. Im dritten Teil dieser Arbeit wird schließlich die oben erläuterte Fragestellung geklärt werden. Sie wird zunächst anhand vieler Beispiele und Erläuterungen verdeutlicht, und im Anschluss dessen eine mögliche Verallgemeinerung auf Fuchssche Gruppen diskutiert.