Mathematik
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Komplexität und Zufälligkeit
(1978)
Die Arbeit befasst sich mit einer Vereinfachung des von Devroye (1999) geprägten Begriffs der random split trees und verallgemeinert diesen im Sinne von Janson (2019) auf unbeschränkten Verzweigungsgrad. Diese Verallgemeinerung deckt auch preferential attachment trees mit linearen Gewichten ab, wofür ein Beweis von Janson (2019) aufbereitet wird. Zusätzlich bleiben die von Devroye (1999) nachgewiesenen Eigenschaften über die Tiefe der hinzugefügten Knoten erhalten.
Aus Sicht der Pädagogischen Psychologie ist Lernen ein Prozess, bei dem es zu überdauernden Änderungen im Verhaltenspotenzial als Folge von Erfahrungen kommt. Aus konstruktivistischer Perspektive lässt sich Lernen am besten als eine individuelle Konstruktion von Wissen infolge des Entdeckens, Transformierens und Interpretierens komplexer Informationen durch den Lernenden selbst beschreiben. Erkennt der Lernende den Sinn und übernimmt, erweitert oder verändert ihn für sich selbst, so ist der Grundstein für nachhaltiges Lernen gelegt.
Lernen ist ein sehr individueller Prozess. Schule muss also individuelles Lernen auch im Klassenverband ermöglichen und der Lehrende muss zum Lerncoach werden, da sonst kein individuelles und eigenaktives Lernen möglich ist. Das Unterrichtskonzept des forschend-entdeckenden Lernens bietet genau diese Möglichkeit. Es erlaubt die Erfüllung der drei Grundbedürfnisse eines Menschen nach Kompetenz, Autonomie und sozialer Eingebundenheit und ermöglicht damit Motivation, Leistung und Wohlbefinden (Ryan & Deci, 2004).
Forschend-entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht ist schrittweise geprägt von folgenden Merkmalen:
- eine problemorientierte Organisation
- selbstständiges, eigenaktives und eigenverantwortliches Lernen der Schülerinnen und Schüler
- individuelle Lernwege und Lernprozesse
- Entwicklung eigener Fragestellungen und Vorgehensweisen der Lernenden
- eigenes Aufstellen von Hypothesen und Vermutungen; Überprüfung der Vermutungen; Dokumentation, Interpretation und Präsentation der Ergebnisse
- eine fördernde Atmosphäre, in der die Lernenden nach und nach forschende Arbeitstechniken vermitteln bekommen
- kooperative Lernformen und damit Förderung von Team- und Kommunikationsfähigkeit
- Unterrichtsinhalte mit hohem Realitäts- und Sinnbezug, gesellschaftlicher Relevanz, Möglichkeiten der Interdisziplinarität
- Stetige Angebote der Unterstützung
Das entdeckende Lernen kann als Vorstufe des forschenden Lernens gesehen werden, da hier der wissenschaftliche Fokus noch nicht so stark ausgeprägt ist. Um alle Phasen auf dem Weg zu annähernd wissenschaftlichen forschenden Lernens anzusprechen, verwenden wir den Begriff des forschend-entdeckenden Lernens.
Voraussetzung ist, dass die Lehrkräfte das forschende Lernen als aktiven, produktiven und selbstbestimmten Lernprozess selbst zuvor erlebt haben müssen. Unter anderem können die Lehrkräfte Unterrichtsprozesse danach besser planen und währenddessen unterstützen, da sie selbst forschend-entdeckendem Lernen „ausgesetzt“ waren und vergleichbare Prozesse durchlebt haben.
Hiermit wird deutlich, dass forschendes Lernen nicht bedeuten kann, dass die Schülerinnen und Schüler auf sich gestellt sind. Die gezielte Unterstützung der Lernenden beim Entdecken und Forschen durch die Lehrkraft ist für einen ertragreichen Lernerfolg unverzichtbar und muss Teil der Vorbereitung und des Prozesses sein.
Internationale Studien zeigen, dass forschend-entdeckende Unterrichtsansätze (inquiry-based learning IBL) im Mathematikunterricht bei geeigneter Umsetzung Lernen verbessern, Lernerfolg und Lernleistung steigern und Freude gegenüber Mathematikunterricht erhöhen können. Die Implementierung dieses Unterrichtsansatzes ist trotz der positiven Ergebnisse nicht alltäglich.
Um neue Unterrichtskonzepte in den Schulalltag zu bringen beziehungsweise um bestehende Unterrichtskonzepte neu in den Schulalltag zu bringen bedarf es Fortbildungen zur Professionalisierung von Lehrerinnen und Lehrern.
Eine Woche lang präsentieren Wissenschaftler*innen Ergebnisse aus der mathematikdidaktischen Forschung und Lehr-Lern-Konzepte für mathematisches Lernen von Schüler*innen sowie für das mathematische und mathematikdidaktische Lernen in den verschiedenen Phasen der Lehrer*innenbildung. Der UniReport sprach mit den Organisatorinnen der Tagung – Prof.in Dr. Susanne Schnell, Prof.in Dr. Rose Vogel und Prof.in Dr. Jessica Hoth – über das Programm der Tagung und über die künftige Ausrichtung des Faches Mathematik.
[Nachruf] Wolfgang Schwarz
(2013)
Wir konnten unseren eigenen Weg gehen, jeder von uns hatte am Ende ein anderes Ergebnis und es war keines falsch. Das macht für mich die Qualität beim Lernen aus, dass mir genug Platz für meine Gedanken gegeben wird und ich ernst genommen werde. […] Dieses Gefühl ist bis heute nicht verloren gegangen und der Gedanke, wie es sein könnte, hilft mir, aus mir raus zukommen und andere zu motivieren, das ebenfalls zu tun, um auch um mich herum anregende Gespräche zu führen, die an die während der Akademie geführten heranreichen. (Feedback einer Teilnehmerin der HSAKA-M 2018)
Bildung durch Wissenschaft im Sinne des Forschenden Lernens ist ein zentrales Thema schulischer Bildung und findet beispielsweise im Konzept Kultur.Forscher! eine didaktische, schulische Umsetzung und wird vom Wissenschaftsrat als Leitgedanke ebenfalls für Universitäten mit dem Ziel empfohlen, Studium und Lehre deutlicher an der Forschung auszurichten.
Die Erfahrung, "…dass alles auch ganz anders sein könnte" ist die wohl wichtigste Erfahrung in Bildungsprozessen. Die Entdeckung von Möglichkeiten, Perspektivwechseln und transformatorischen Selbst-Bildungsprozessen ist zentral für eine gelungene kulturelle Bildungssituation. (Birgit Mandel, 2005).
Die Hessischen Schülerakademien zur Förderung besonders engagierter und begabter junger Menschen wurden bewusst als ein Unterfangen des Forschenden Lernens gegründet und fühlen sich diesem Leitgedanken im Kontext kultureller Bildung verpflichtet. Dieser Satz klingt zunächst einmal gut und zeitgemäß. Doch was steckt genau dahinter?
Das Zusammentreffen zu Beginn der Sommerferien von 60 wissbegierigen und experimentierfreudigen Schülerinnen und Schülern mit einem ebensolchen Team aus Hochschullehrenden und Kulturschaffenden, versprach wie immer eine intensive und aufregende Zeit zu werden. Diese positive Erwartung wurde auch voll erfüllt und gipfelte am Gästenachmittag mit Eltern, Verwandten, Freunden und interessierten Besuchern in einen feierlich-fröhlichen Abschluss mit spannenden und auch überraschenden Werkschauen der Kurse. Ein besonderes Highlight war die großformatige Gestaltung eines Modells der BURG FÜRSTENECK als interdisziplinäres Ergebnis des Hauptkurses Mathematik und des Wahlkurses Modellbau.
Als wir im Herbst 2015 auf den Homepages von BURG FÜRSTENECK und der Schülerakademie unsere Ausschreibung für die Akademie 2016 veröffentlichten, ahnten wir noch nicht, dass wir uns weitere Werbung mit dem jährlichen Flyer, den wir zum Jahreswechsel an die hessischen Gymnasien und Gesamtschulen mit gymnasialen Zweig versenden, hätten (fast) sparen können. Zu unserer Überraschung und großer Freude zählten wir bereits im Februar 2016 "58" Anmeldungen von Schülerinnen und Schülern. Die Werbung hat uns im Anschluss über 20 weitere Bewerbungen beschert und in die unangenehme Situation gebracht, (zu) vielen Schülerinnen und Schülern absagen bzw. sie auf das nächste Jahr vertrösten zu müssen.
Nur eine Institution, die sich verändern kann, kann auch bestehen – das gilt mit Sicherheit im besonderen Maße für Bildungseinrichtungen. Veränderungen können jedoch in unterschiedlichem Gewand daherkommen. Manche geschehen unerwartet und verursachen dadurch vielleicht Probleme, andere hingegen bahnen sich so langsam an, dass ihre Effekte geradezu überraschend wirken können. Die in ihrer Geschwindigkeit unerwartete Einführung des Praxissemesters in der ersten, universitären Phase der Lehrerausbildung in Hessen ist eine solche problematische Veränderung für die Hessische Schülerakademie (Oberstufe), weil sie deren bisher gültige Integration in die schulpraktischen Studienanteile der studentischen BetreuerInnen nicht mehr vorsieht – ein Umstand, der Akademieleitung und Kuratorium ebenso wie unsere Kooperationspartner an der Universität und im Kultusministerium jetzt schon seit über zwei Jahren intensiv beschäftigt.
Wer gern mitzählt, wird vielleicht festgestellt haben, dass im Sommer 2017 die zwanzigste Hessische Schülerakademie stattfand – dreizehn Oberstufenakademien waren es seit 2004, sieben für die Mittelstufe kamen seit 2011 hinzu. Zwanzig erfolgreiche Akademien bieten nicht nur Anlass zur Freude, sie bilden auch die solide Grundlage für einen selbstbewussten Blick in die Zukunft. Im nächsten Frühjahr lädt daher die Akademie Burg Fürsteneck gemeinsam mit dem Hessischen Kultusministerium zu einem interdisziplinären Symposium ein, bei dem die Hessische Schülerakademie und das Programm KulturSchule im Mittelpunkt stehen: Unter dem Titel "Kulturelle Bildung auf dem Weg" beschäftigen sich vom 2. bis zum 4. März 2018 Fachleute aus Wissenschaft und Praxis auf Burg Fürsteneck mit den "Qualitätsbedingungen in der Kulturellen Bildung am Beispiel der Schülerakademien und der Kulturschulen in Hessen".
Das Akademiejahr 2018 hatte neben den beiden Schülerakademien für die Mittelstufe und die Oberstufe noch einen weiteren Höhepunkt: das Symposium "Kulturelle Bildung auf dem Weg" (vom 2. bis 4. März 2018, ausgerichtet von Burg Fürsteneck gemeinsam mit dem Schulentwicklungsprogramm KulturSchule des Hessischen Kultusministeriums und dem Weiterbildungsmaster Kulturelle Bildung an Schulen der Uni Marburg). Es wurde von unserem Schirmherrn, Kultusminister Prof. Dr. R. Alexander Lorz, eröffnet und hatte unter anderem das Ziel, in der Begegnung von Bildungsexpert*innen und -praktiker*innen eine Fachdebatte über "Qualitätsbedingungen in der Kulturellen Bildung am Beispiel der Schülerakademien und der Kulturschulen in Hessen" anzustoßen.
Kaum ein Name ist so eng mit dem "Projekt HSAKA" verbunden wie der von Wolf Aßmus: Seit der ersten Hessischen Schülerakademie für die Oberstufe im Jahre 2004 ist er als Leiter des Physik-Kurses dabei; die Gründung der Mittelstufenakademie 2011 wurde von ihm tatkräftig unterstützt und gefördert; einen Sitz im Kuratorium hat er ebenso übernommen wie das Amt des Ersten Vorsitzenden des Trägervereins von Burg Fürsteneck – der inzwischen pensionierte Professor für Festkörperphysik verkörpert geradezu die Idee vom "Un-Ruhestand". Wer mag es ihm da verübeln, wenn Wolf beschließt, im nächsten Sommer mal mehr Zeit mit seinen Enkeln zu verbringen, statt auf die Burg zu fahren? Weil es daher 2020 zum ersten Mal eine Oberstufenakademie ohne Wolf und ohne Physik-Kurs geben wird (stattdessen Philosophie und Informatik), haben wir auf der vergangenen Akademie die Gelegenheit genutzt, Wolf für 15 Jahre Schülerakademie zu danken. Genauer gesagt: für 15 Jahre, 16 Fachkurse in Physik (15 auf der Oberstufenakademie und einer bei der Mittelstufe), 15 kursübergreifende Naturkunde-Angebote, für die Betreuung Dutzender Studierender und weit über 200 Schüler*innen, für unzählige gemeinsame Aha-Erlebnisse und humorvolle Geschichten, für unermüdliches Engagement und geduldigen Beistand – und nicht zuletzt für viele, viele Liter Speiseeis. Unsere Dankbarkeit wollen wir hier mit allen Leser*innen dieser Dokumentation teilen.
Die Mathematik ist gleichermaßen eine Kulturwissenschaft mit langer Tradition als auch treibende Kraft hinter vielen modernen Technologien und damit Schlüsseldisziplin des Informationszeitalters. Zum einen zielt die Mathematik darauf ab, abstrakte Strukturen und ihre Zusammenhänge zu verstehen; zum anderen entwickelt sie kraftvolle Methoden, um Frage- und Problemstellungen in zahlreichen Wissenschaftsdisziplinen zu behandeln. Moderne Anwendungen der Mathematik liegen beispielsweise in den Bereichen der Datensicherheit und -kompression, der Verkehrssteuerung, der Bewertung und Optimierung von Finanzinstrumenten oder der medizinischen Operationsplanung.
In dieser Broschüre stellen wir Ihnen das Profil der Frankfurter Mathematik in Forschung und Lehre sowie speziell die Studiengänge
• Bachelor Mathematik
• Master Mathematik
vor. An der Goethe-Universität ist es auch möglich, Mathematik auf Lehramt (L1, L2, L3, L5) zu studieren. ...
Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu lösen, üben Schüler schon in der Mittelstufe. Für die einen ist es eine spannende mathematische Knobelei, für die anderen eher Quälerei. Doch den wenigsten ist bewusst, wie viele Leben dadurch jeden Tag gerettet werden. Die moderne medizinische Bildgebung beruht darauf, sehr viele Gleichungen nach sehr vielen Unbekannten aufzulösen.
Frühe mathematische Bildung – Ziele und Gelingensbedingungen für den Elementar- und Primarbereich
(2017)
Im Rahmen der Schriftenreihe "Wissenschaftliche Untersuchungen zur Arbeit der Stiftung 'Haus der kleinen Forscher'" werden regelmäßig wissenschaftliche Beiträge von renommierten Expertinnen und Experten aus dem Bereich der frühen Bildung veröffentlicht. Diese Schriftenreihe dient einem fachlichen Dialog zwischen Stiftung, Wissenschaft und Praxis, mit dem Ziel, allen Kitas, Horten und Grundschulen in Deutschland fundierte Unterstützung für ihren frühkindlichen Bildungsauftrag zu geben.
Der vorliegende achte Band der Reihe mit einem Geleitwort von Kristina Reiss stellt die Ziele und Gelingensbedingungen mathematischer Bildung im Elementar- und Primarbereich in den Fokus.
Christiane Benz, Meike Grüßing, Jens Holger Lorenz, Christoph Selter und Bernd Wollring spezifizieren in ihrer Expertise pädagogisch-inhaltliche Zieldimensionen mathematischer Bildung im Kita- und Grundschulalter. Neben einer theoretischen Fundierung verschiedener Zielbereiche werden Instrumente für deren Messung aufgeführt. Des Weiteren erörtern die Autorinnen und Autoren Gelingensbedingungen für eine effektive und wirkungsvolle frühe mathematische Bildung in der Praxis. Sie geben zudem Empfehlungen für die Weiterentwicklung der Stiftungsangebote und die wissenschaftliche Begleitung der Stiftungsarbeit im Bereich Mathematik.
Das Schlusskapitel des Bandes beschreibt die Umsetzung dieser fachlichen Empfehlungen in den inhaltlichen Angeboten der Stiftung "Haus der kleinen Forscher".
Für balancierte, irreduzible Pólya-Urnen-Modelle sind Grenzwertsätze für die normalisierte Anzahl von Kugeln einer Farbe bekannt. Für eine spezielle Urne, deren Dynamik mit "Randomised-Play-the-Winner Rule" bezeichnet wird, werden im Rahmen der bekannten Grenzwertsätze Konvergenzraten in Wasserstein-Metriken und in der Kolmogorov-Metrik im Falle eines nicht-normalverteilten Grenzwerts hergeleitet.
Die letzten Jahrzehnte brachten einen enormen Zuwachs des Wissens und Verständnisses über die molekularen Prozesse des Lebens.Möglich wurde dieser Zuwachs durch die Entwicklung diverser Methoden, mit denen beispielsweise gezielt die Konzentration einzelner Stoffe gemessen werden kann oder gar alle anwesenden Metaboliten eines biologischen Systems erfasst werden können. Die großflächige Anwendung dieser Methoden führte zur Ansammlung vieler unterschiedlicher -om-Daten, wie zum Beispiel Metabolom-, Proteom- oder Transkriptoms-Datensätzen. Die Systembiologie greift auf solche Daten zurück, um mathematische Modelle biologischer Systeme zu erstellen, und ermöglicht so ein Studium biologischer Systeme auch außerhalb des Labors.
Für größere biologische Systeme stehen jedoch meistens nicht alle Informationen über Stoffkonzentrationen oder Reaktionsgeschwindigkeiten zur Verfügung, um eine quantitative Modellierung, also die Beschreibung von Änderungsraten kontinuierlicher Variablen, durchführen zu können. In einem solchen Fall wird auf Methoden der qualitativen Modellierung zurückgegriffen. Eine dieser Methoden sind die Petrinetze (PN), welche in den 1960er Jahren von Carl Adam Petri entwickelt wurden, um nebenläufige Prozesse im technischen Umfeld zu beschreiben. Seit Anfang der 1990er Jahre finden PN auch Anwendung in der Systembiologie, um zum Beispiel metabolische Systeme oder Signaltransduktionswege zu modellieren. Einer der Vorteile dieser Methode ist zudem, dass Modelle als qualitative Beschreibung des Systems begonnen werden können und im Laufe der Zeit um quantitative Beschreibungen ergänzt werden können.
Zur Modellierung und Analyse von PN existieren bereits viele Anwendungen. Da das Konzept der PN jedoch ursprünglich nicht für die Systembiologie entwickelt wurde und meist im technischen Bereich verwendet wird, existierten kaum Anwendungen, die für den Einsatz in der Systembiologie entwickelt wurden. Daher ist auch die Durchführung der für die Systembiologie entwickelten Analysemethoden für PN nicht mit diesen Anwendungen möglich. Die Motivation des ersten Teiles dieser Arbeit war daher, eine Anwendung zu schaffen, die speziell für die PN-Modellierung und Analyse in der Systembiologie gedacht ist, also in ihren Analysemethoden und ihrer Terminologie sich an den Bedürfnissen der Systembiologie orientiert. Zudem sollte die Anwendung den Anwender bei der Auswertung der Resultate der Analysemethoden visuell unterstützen, indem diese direkt visuell im Kontext des PN gesetzt werden. Da bei komplexeren PN die Resultate der Analysemethoden in ihrer Zahl drastisch anwachsen, wird eine solche Auswertung dieser notwendig. Aus dieser Motivation heraus entstand die Anwendung MonaLisa, dessen Implementierung und Funktionen im ersten Teil der vorliegenden Arbeit beschrieben werden. Neben den klassischen Analysemethoden für PN, wie den Transitions- und Platz-Invarianten, mit denen grundlegende funktionale Module innerhalb eines PN gefunden werden können, wurden weitere, meist durch die Systembiologie entwickelte, Analysemethoden implementiert. Dazu zählen zum Beispiel die Minimal Cut Sets, die Maximal Common Transitions Sets oder Knock-out-Analysen. Mit MonaLisa ist aber auch die Simulation des dynamischen Verhaltens des modellierten biologischen Systems möglich. Hierzu stehen sowohl deterministische als auch stochastische Verfahren, beispielsweise der Algorithmus von Gillespie zur Simulation chemischer Systeme, zur Verfügung. Für alle zur Verfügung gestellten Analysemethoden wird ebenfalls eine visuelle Repräsentation ihrer Resultate bereitgestellt. Im Falle der Invarianten werden deren Elemente beispielsweise in der Visualisierung des PN eingefärbt. Die Resultate der Simulationen oder der topologischen Analyse können durch verschiedene Graphen ausgewertet werden. Um eine Schnittstelle zu anderen Anwendungen zu schaffen, wurde für MonaLisa eine Unterstützung einiger gängiger Dateiformate der Systembiologie geschaffen, so z.B. für SBML und KGML.
Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der topologischen Analyse eines Datensatzes von 2641 Gesamtgenom Modellen aus der path2models-Datenbank. Diese Modelle wurden automatisiert aus dem vorhandenen Wissen der KEGG- und der MetaCyc-Datenbank erstellt. Die Analyse der topologischen Eigenschaften eines Graphen ermöglicht es, grundlegende Aussagen über die globalen Eigenschaften des modellierten Systems und dessen Entstehungsprozesses zu treffen. Daher ist eine solche Analyse oft der erste Schritt für das Verständnis eines komplexen biologischen Systems. Für die Analyse der Knotengrade aller Reaktionen und Metaboliten dieser Modelle wurden sie in einem ersten Schritt in PN transformiert. Die topologischen Eigenschaften von metabolischen Systemen werden in der Literatur schon sehr gut beschrieben, wobei die Untersuchungen meist auf einem Netzwerk der Metaboliten oder der Reaktionen basieren. Durch die Verwendung von PN wird es möglich, die topologischen Eigenschaften von Metaboliten und Reaktionen in einem gemeinsamen Netzwerk zu untersuchen. Die Motivation hinter diesen Untersuchungen war, zu überprüfen, ob die schon beschriebenen Eigenschaften auch für eine Darstellung als PN zutreffen und welche neuen Eigenschaften gefunden werden können. Untersucht wurden der Knotengrad und der Clusterkoeffizient der Modelle. Es wird gezeigt, dass einige wenige Metaboliten mit sehr hohem Knotengrad für eine ganze Reihe von Effekten verantwortlich sind, wie beispielsweise dass die Verteilung des Knotengrades und des Clusterkoeffizienten, im Bezug auf Metaboliten, skalenfrei sind und dass sie für die Vernetzung der Nachbarschaft von Reaktionen verantwortlich sind. Weiter wird gezeigt, dass die Größe eines Modelles Einfluss auf dessen topologische Eigenschaften hat. So steigt die Vernetzung der Nachbarschaft eines Metaboliten, je mehr Metaboliten in einem biologischen System vorhanden sind, gleiches gilt für den durchschnittlichen Knotengrad der Metaboliten.
Das Vertrauen vieler Menschen in ihre mathematischen und musikalischen Fähigkeiten ist oftmals sehr niedrig ausgeprägt oder wenig ausdifferenziert. Sie glauben, dass sie in dem einen oder anderen Fach (oder beiden) nicht gut seien. Hinzukommt, dass die Aussage „Ich kann nicht singen“ oder „Mathematik habe ich noch nie verstanden“ durchaus gesellschaftsfähig ist und sie nicht daran hindern muss, eine erfolgreiche Karriere zu durchlaufen, noch wird es die Meinung anderer über sie ändern.
Das Projekt „European Music Portfolio – Sounding Ways into Mathematics“ (EMP-Maths) möchte dieses Verständnis ändern. Jeder kann singen und Musik machen und jeder kann Mathematik treiben. Beide Themen sind integraler Bestandteil unseres Lebens und unserer Gesellschaft. Was geändert werden muss, ist das Bild von diesen beiden Fächern und die Fähigkeit von Lehrpersonen, Lernenden die Gelegenheit zu geben, dieses zu verändern und die beiden Fächer als bereichernd für die Lebensgestaltung einzustufen.
Beispielhaft wird im Arbeitsbuch eine Aktivität vorgestellt, in welcher Mathematik und Musik in einer Unterrichtssequenz miteinander verbunden werden. Weitere Aktivitäten, die in der Schule genutzt werden können, finden sich im Handbuch für Lehrerinnen und Lehrer. Viele weitere Beispiele und Vorschläge sind bereits vorhanden (siehe Web-Seite des Projekts) und wir möchten jeden ermutigen, sie zu nutzen. Die Auswahl im Handbuch deckt einige zentralen Felder der Mathematik und der Musik ab: Singen, Tanzen, Hören, Probleme lösen, Zahlen, Messen, Raum und Form. Mit diesem Ansatz wollen wir das Projekt an die Kerncurricula der beteiligten Länder anbinden: Deutschland, Griechenland, Rumänien, Slowakei, Spanien, Schweiz und Großbritannien. Die Dokumentation der Beispiele erfolgt in einer Art von Didaktischen Design Patterns, deren Struktur an die Anforderungen des Projekts angepasst wurde.
Das Projekt „Sounding Ways into Mathematics“ stellt Aktivitäten mit unterschiedlichen mathematischen und musikalischen Inhalten vor, um Lehrpersonen ein möglichst breites Spektrum an Hilfsmitteln, Ideen und Beispielen anbieten zu können. Diese Aktivitäten sind so aufgebaut, dass sie erweiter- und anpassbar an unterschiedliche Kontexte sowie auf die Bedürfnisse einer jeden Lehrperson und deren Schülerinnen und Schülern sind. Ferner wurden diese Aktivitäten nicht nur entwickelt, um von der Lehrperson instruktiv ausgeführt zu werden, sondern, um sie gemeinsam mit der Lerngruppe zu nutzen und eventuell sogar gemeinsam zu verändern und weiter zu entwickeln.
Das Projekt „Sounding Ways into Mathematics“ steht in Verbindung zum EMP-Sprachen Projekt „A creative Way into Languages“ (http://emportfolio.eu/emp/).
Optimierung von Phasen- und Ratenparametern in einem stochastischen Modell neuronaler Feueraktivität
(2014)
In unserem Gehirn wird Information von Neuronen durch die Emission von Spikes repräsentiert. Als wichtige Signalkomponenten werden hierbei die Rate (Anzahl Spikes), die Phase (zeitliche Verschiebung der Spikes) und synchrone Oszillationen (rhythmische Entladungen der Neuronen am selben Zyklus) diskutiert.
In dieser Arbeit wird untersucht, wie Rate und Phase für eine optimale Detektion miteinander kombiniert werden und abhängig vom gewählten Parameterbereich wird der Beitrag der Phase quantifiziert.
Dies wird anhand eines stochastischen Spiketrain-Modell untersucht, das hohe Ähnlichkeiten zu empirischen Spiketrains zeigt und die drei genannten Signalkomponenten beinhaltet. Das ELO-Modell („exponential lockig to a free oscillator“) ist in zwei Prozessstufen unterteilt: Im Hintergrund steht ein globaler Oszillationsprozess, der unabhängige und normal-verteilte Intervallabschnitte hervorbringt (Oszillation). An den Intervallgrenzen starten unabhängig, inhomogene Poisson-Prozesse (Synchronizität) mit exponentiell abnehmender Feuerrate, die durch eine stimulusspezifische Rate und Phase festgelegt ist.
Neben einer analytischen Bestimmung der optimalen Parameter im Falle reiner Raten- bzw. Phasencodierung, wird die gemeinsame Codierung anhand von Simulationsstudien analysiert.
In der Arbeit wird ein Testverfahren zum Prüfen der Varianzhomogenität der Lebenszeiten eines Erneuerungsprozesses entwickelt. Das Verfahren basiert auf der "Filtered-Derivative"-Methode. Zur Herleitung des Annahmebereichs werden zunächst Bootstrap-Permutationen genutzt, bevor zu einer asymptotischen Methode übergangen wird. Ein entsprechender funktionaler Grenzwertsatz wird skizziert. Aufbauend auf dem Test wird ein Multiple-Filter-Algorithmus zur genauen Detektion der Varianz-Change-Points besprochen. Schließlich folgt die Inklusion von vorher detektierten Ratenänderungen in das Verfahren. Der Test und der Algorithmus werden in Simulationsstudien evaluiert. Abschließend erfolgt eine Anwendung auf EEG-Daten.
In dieser Arbeit wurde deutlich, dass die Multilevel Monte Carlo Methode eine signifikante Verbesserung gegenüber der Monte Carlo Methode darstellt. Sie schafft es den Rechenaufwand zu verringern und in fast allen Fällen die gewollte Genauigkeit zu erreichen. Die Erweiterung durch Richardson Extrapolation brachte immer eine Verringerung des Rechenaufwands oder zumindest keine Verschlechterung, auch wenn nicht in allen Fällen die schwache Konvergenzordnung verdoppelt wurde.
Im Falle der Optionssensitivitäten ist eine Anwendung des MLMC-Algorithmus problematisch. Das Funktional, das auf den Aktienkurs angewendet wird, darf keine Unstetigkeitsstelle besitzen, bzw. im Falle des Gammas muss es stetig differenzierbar sein. Die Anwendung der MLMC Methode macht dann vor allem Sinn, wenn sich die Sensitivität als Funktion des Aktienkurses umformen lässt, so dass nur der Pfad der Aktie simuliert werden muss. Nur wenn dies nicht möglich ist, wäre es sinnvoll, die in Kapitel 6.5 am Beispiel des Deltas vorgestellte Methode zu benutzen, in der man einen zweiten Pfad für das Delta simuliert.
Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten in der Wahl von anderen varianzreduzierenden Methoden liegen oder durch Verwendung von Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung als das Euler-Verfahren (vgl. [7], Verwendung des Milstein-Verfahrens). In diesem Fall ist theoretisch ein Rechenaufwand der Größenordnung O(ϵexp-2) möglich, da die Anzahl der zu erstellenden Samples nicht mehr mit steigendem L erhöht wird. Somit könnte das L so groß gewählt werden, dass der Bias verschwindet und der MSE ausschließlich von der Varianz des Schätzers abhängt. Um diese auf eine Größenordnung von O(ϵexp2) zu bringen, ist es nötig, O(ϵexp2) Pfade zu erstellen (siehe Gleichung (3.6)), was den Rechenaufwand begründet.
Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten, BacDas Gebiet der Optionsbewertung ist durch die Entwicklungen zu neuen und immer komplexer werdenden Optionstypen und durch Verbesserungen im Bereich der Aktienkurs-Modelle geprägt. Diese Entwicklung und die gestiegene Leistungsfähigkeit der Parallelrechner haben das Interesse an den flexiblen Quasi-Monte-Carlo-Verfahren neu geweckt.
Die experimentellen Untersuchungen bestätigen die Überlegenheit des Quasi-Monte-Carlo-Verfahren gegenüber den klassische Monte-Carlo-Verfahren in Bezug auf niedrigdimensionale Optionstypen. Dieser Überlegenheit nimmt aber mit zunehmender Dimension ab, was eine Nachteil für das Quasi-Monte-Carlo Verfahren darstellt. Zur Verbesserung des Verfahrens gibt das Dimensions-Reduktions-Prinzip (effective dimension) und weitere Niederdiskrepanz-Folgen, wie Niederreiter-Folgen, Lattice-Regeln, usw. Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten auch durch Wahl von anderen Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung, wie z.B dem Milstein-Verfahren, erreicht werden. Mit dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren lässen sich auch komplizierte Optionen bewerten,
wie z.B. Bermuda-Optionen, Barrier-Optionen, Cap-Optionen, Shout-Optionen, Lokkback-Optionen, Multi-Asset-Optionen, Outperformance-Optionen, und auch mit weiteren Bewertungs-Modellen kombinieren, wie z.B. dem Black-Scholes-Modell mit variabler Verzinsung, Black-Scholes-Modell mit zeitabhängiger Volatilität, Heston-Modell für stochastische Volatilität, Merton-Sprung-Diffusion-Modell und dem Libor-Markt Modell für Zinsderivate, auf die ich in dieser Bachelorarbeit nicht mehr eingehen werde, mit denen ich mich jedoch in der Masterarbeit genauer beschäftigen werde.
Finanzderivate sind Produkte, die eine Möglichkeit bieten sich gegen künftige Preisschwankungen abzusichern oder auf eine zukünftige Preisentwicklung zu spekulieren. Die wichtigsten Arten von Finanzderivaten sind Optionen, Futures, Forwards und Swaps. Gegenstand vorliegender Bachelorarbeit werden ausschließlich Optionen sein. Auf den internationalen Finanzmärkten werden verschiedene Typen von Optionen gehandelt, weshalb sich die Frage des "fairen Preises" eines solchen Produktes stellt. Für viele gehandelte Optionen gibt es keine geschlossene Lösung zur Bestimmung des Preises, deshalb werden für diese numerische Verfahren zur Berechnung angewandt. Dabei muss beachtet werden, dass der Optionswert möglichst genau ist, jedoch sollte der Aufwand dabei ziemlich gering sein.
Ziel dieser Arbeit ist die Bestimmung eines numerischen Verfahrens, mit dem man europäische und amerikanische Multiasset-Optionen bewerten kann. Dieses Verfahren soll eine Erweiterung des bekannten Binomialverfahrens sein. Im Fokus steht dabei das Binomialverfahren, da es durch die Einschränkung auf zwei Entwicklungsmöglichkeiten in der Anwendung einfacher ist als das Black-Scholes-Modell. Dieses Verfahren ist nur für europäische und amerikanische Standard-Optionen definiert. Bei der Erweiterung muss beachtet werden, dass Multiasset-Optionen von mehreren Wertpapieren abhängen. In der Arbeit wird ein Produktbinomialverfahren entwickelt, das die Anzahl der Wertpapiere in der Dimension der entstehenden Bäume berücksichtigt. Dieses Verfahren konvergiert gegen das mehrdimensionale Black-Scholes-Modell und ist zu dessen graphischer Darstellung geeignet. Es wird jedoch auch gezeigt, dass dieses dem Fluch der Dimension unterliegt und somit der Aufwand für einen möglichst genauen Optionswert ziemlich hoch ist. Die Erweiterung dieses Verfahrens durch Dünne Gitter erzielt eine Optimierung der Laufzeit. Da der Fokus dieser Bachelorarbeit jedoch auf dem Produktbinomialverfahren liegt, wird im Folgenden auf diese Erweiterung nicht eingegangen.
Wie können Optionen bewertet werden, zu denen keine geschlossenen Lösungen existieren? Die Antwort lautet: Numerische Verfahren. In Hinblick auf diese Frage wurden in der Vergangenheit meist Baumverfahren, Finite-Differenzen- oder Monte-Carlo-Methoden herangezogen. Im Gegensatz dazu behandelt diese Bachelorarbeit den Einsatz von Quadraturverfahren (QUAD) bei der Bewertung von exotischen Optionen, also Optionen, die kompliziertere Auszahlungsstrukturen besitzen wie einfache Standard-Optionen. Die Grundidee besteht darin, den Optionswert als mehrdimensionales Integral in eindimensionale Integrale zu zerlegen, die daraufhin durch Quadraturformeln approximiert werden...Die Genauigkeit des Verfahrens wird erhöht, indem die Schrittweite der Quadraturformel h verkleinert wird. Dies hat allerdings zur Folge, dass sich der Rechenaufwand erhöht. QUAD jedoch schafft es, durch Reduzierung der Dimension und Ausnutzung der herausragenden Konvergenzeigenschaften von Quadraturformeln eine hohe Genauigkeit bei gleichzeitig geringen Rechenkosten zu erreichen.
Die Methode ist allgemein anwendbar und zeigt insbesondere beim Preisen von pfadabhängigen Optionen mit diskreten Zeitpunkten ihre Stärken. Als Anwendungsbeispiele betrachten wir deshalb folgende Optionstypen: Digitale-, Barrier-, Zusammengesetzte-, Bermuda- und Lookback Optionen. Ferner existieren entsprechende Verfahren für Asiatische- oder Amerikanische Optionen, für die jedoch mehr Vorarbeit notwendig ist.
Der große Vorteil von QUAD gegenüber anderen numerischen Verfahren liegt in der Vermeidung eines (bedeutsamen) Verteilungsfehlers und in der Tatsache, dass keine Bedingungen an die Auszahlungsfunktion gestellt werden müssen. Baum- oder Finite-Differenzen-Verfahren reduzieren zwar durch Gitterverfeinerung den Verteilungsfehler, allerdings geht dies Hand in Hand mit deutlich höheren Rechenzeiten. Zum Beispiel benötigt ein Baumverfahren für die doppelte Exaktheit einen vierfachen Rechenaufwand, während die QUAD Methode bei einem vierfachen Rechenaufwand die Exaktheit mit Faktor 16 erhöht (bei Extrapolation steigt dieser Faktor bis 256).
QUAD kann als "der perfekte Baum" angesehen werden, da es ähnlich zu Multinomialbäumen auf Rückwärtsverfahren zurückgreift, andererseits aber die hohe Flexibilität besitzt, Knoten frei und in großer Anzahl zu wählen. Des Weiteren gehen nur die den Optionspreis bestimmenden Zeitpunkte in die Bewertung mit ein, sodass auf zwischenzeitliche Zeitschritte gänzlich verzichtet werden kann.
Die eigentliche Arbeit gliedert sich in sechs Abschnitte. Zunächst erfolgt eine Einführung in allgemeine Quadraturverfahren, exotische Optionen und das Black-Scholes-Modell, was im Anschluss den Übergang zum Lösungsansatz liefert. Dieser Abschnitt schließt mit einer geschlossenen Integrallösung für Optionen, die der Black-Scholes-Differentialgleichung folgen, ab. In Abschnitt 4 wird die genaue Untersuchung der QUAD Methode vorgenommen. Unter Verwendung des in Abschnitt 5 vorgestellten Algorithmus wird anschließend in Abschnitt 6 die QUAD Methode auf die zuvor genannten Optionsklassen angewandt. Die entsprechenden Resultate werden am Ende dieses Teils in Tabellen und Graphiken präsentiert. Den Abschluss bildet das Fazit und die Zusammenfassung der Ergebnisse.
Sprung-Diffusions-Modelle zur Bewertung Europäischer Optionen, BacIn dieser Arbeit wurden die Europäische Optionen in den Sprung-Diffusions-Modellen von Merton und dem Modell von Kou bewertet. So stellen die geschlossenen Lösungen für das Merton-Modell als Anwendung der Black-Scholes-Formel eine einfache Möglichkeit zur Berechnung eines Optionspreises dar. Die Verwendung einer analytischen Lösung für Merton ist allerdings nur eingeschränkt, d.h. für zwei spezielle Sprungverteilungsfunktionen (Plötzlicher Ruin und die Lognormalverteilung) möglich. Das Kou-Modell hingegen, hat eine geschlossene Lösung für Doppel-Exponentialverteilte Sprünge. Eine flexible Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung eines Optionspreises ist die Verwendung des Monte-Carlo-Verfahrens für die Simulation der Kursbewegung mit zugrunde liegendem Sprung-Diffusions-Modell. In diesem Fall ist das Monte-Carlo-Verfahren zur Ermittlung des Optionspreises nur einmal anzuwenden. Dieses Verfahren konvergiert mit einer Konvergenzrate von 1/2.
Wie alle anderen Modelle, die auf Lévy Prozessen basieren, lässt das Kou-Modell eine empirische Beobachtung vermissen, nämlich die mögliche Abhängigkeit zwischen Renditen der Underlyings (der sogenannte "volatility clustering affect"), weil das Modell unabhängige Inkremente unterstellt. Eine Möglichkeit die Abhängigkeit mit einzubeziehen, wäre die Nutzung anderer Punktprozesse Ñ(t) mit abhängigen Inkrementen anstelle des Poisson-Prozesses N(t). Es muss natürlich die Unabhängikeit zwischen der Brownschen Bewegung, den Sprunghöhen und ~N(t) beibehalten werden. Das so modifizierte Modell hat keine unabhängigen Inkremente mehr, ist aber einfach die geschlossene Lösungsformel für Call- und Put-Optionen zu erhalten. Andererseits scheint es schwer analytische Lösungen für Pfadabhängige Optionen durch Nutzung von Ñ(t) anstelle von N(t) zu erhalten.
Im Rahmen dieser Arbeit wird der aktuelle Stand auf dem Gebiet des Lokalen Lovász Lemmas (LLL) beschrieben und ein Überblick über die Arbeiten zu konstruktiven Beweisen und Anwendungen gegeben. Ausgehend von Jószef Becks Arbeit zu einer algorithmischen Herangehensweise, haben sich in den letzten Jahren im Umfeld von Moser und Tardos und ihren Arbeiten zu einem konstruktiven Beweis des LLL eine erneute starke Beschäftigung mit dem Thema und eine Fülle von Verbesserungen entwickelt.
In Kapitel 1 wird als Motivation eine kurze Einführung in die probabilistische Methode gegeben. Mit der First- und Second Moment Method werden zwei einfache Vorgehensweisen vorgestellt, die die Grundidee dieses Beweisprinzips klar werden lassen. Von Paul Erdős eröffnet, beschreibt es Wege, Existenzbeweise in nicht-stochastischen Teilgebieten der Mathematik mithilfe stochastischer Überlegungen zu führen. Das Lokale Lemma als eine solche Überlegung entstammt dieser Idee.
In Kapitel 2 werden verschiedene Formen des LLL vorgestellt und bewiesen, außerdem wird anhand einiger Anwendungsbeispiele die Vorgehensweise bei der Verwendung des LLL veranschaulicht.
In Kapitel 3 werden algorithmische Herangehensweisen beschrieben, die geeignet sind, von der (mithilfe des LLL gezeigten) Existenz gewisser Objekte zur tatsächlichen Konstruktion derselben zu gelangen.
In Kapitel 4 wird anhand von Beispielen aus dem reichen Schatz neuerer Veröffentlichungen gezeigt, welche Bewegung nach der Arbeit von Moser und Tardos entstanden ist. Dabei beleuchtet die Arbeit nicht nur einen anwendungsorientierten Beitrag von Haeupler, Saha und Srinivasan, sondern auch einen Beitrag Terence Taos, der die Beweistechnik Mosers aus einem anderen Blickwinkel beleuchtet.