Mathematik
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Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus dem Gebiet der Fuchsschen Gruppen. Das Problem, das hier geklärt werden soll, entspringt einer im Jahre 2005 erschienenen Arbeit über Konjugatoren Fuchsscher Gruppen und quasiplatonische Riemannsche Flächen von Jürgen Wolfart und Ernesto Girondo [GW05]. Es ist dort ein alternativer geometrischer Weg gewählt worden, um es zu umgehen, und es soll nun hier mit den bereits 1970 bereitgestellten Methoden zur Fragestellung der Existenz von Untergruppen Fuchsscher Gruppen von David Singerman [SIN70] gelöst werden. Betrachtet man eine Dreiecksgruppe $Delta_{1}$ als Untergruppe einer Dreiecksgruppe $Delta_{2}$, so kann es vorkommen, dass diese Inklusion eine Verfeinerung durch eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta$ gestattet. In den Fällen, in denen zu einer gegebenen Dreiecksgruppe $Delta_{2}$ voneinander verschiedene Untergruppen gleicher Signatur $Delta_{1},Delta_{1}Apostroph,...$ existieren, ist es nicht a priori klar, dass es eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gleicher Signatur zu jeder dieser verschiedenen Untergruppen gibt. Das Ziel dieser Arbeit ist es nun, dies zu klären, d.h. zu zeigen, dass es für jedes Paar Dreiecksgruppen $Delta_{1}subseteqDelta_{2},Delta_{1}ApostrophsubseteqDelta_{2},...$ eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gibt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine grobe Einleitung in die Theorie der Diskontinuierlichen Gruppen gegeben, die sehr stark auf Fuchssche Gruppen abzielt und mit deren Verbindung zu Riemannschen Flächen abschließt. Sie orientiert sich sehr stark an einem Standardwerk über Diskontinuierliche Gruppen von Joseph Lehner [LEH64]. Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns ganz den Untergruppen Fuchsscher Gruppen und dem von David Singerman [SIN70] bereitgestellten Apparat, der eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür aufzeigt. Wie David Singerman auch zeigt, lassen sich diese Methoden für Normalteiler und Dreiecksgruppen spezialisieren. Wir werden uns dem auch annehmen. Abschließend erarbeiten wir dann eine ausführliche Methode und somit auch einen Beweis zur Erlangung der kompletten Liste von Inklusionen Fuchsscher Dreiecksgruppen, wie sie sich in einer weiteren Arbeit David Singermans befindet [SIN72]. Dies geschieht mit Hilfe zweier Maple-Programme deren Quellcode und Ausgabe sich im Anhang bzw. vierten Teil dieser Arbeit zur Einsicht bendet. Im dritten Teil dieser Arbeit wird schließlich die oben erläuterte Fragestellung geklärt werden. Sie wird zunächst anhand vieler Beispiele und Erläuterungen verdeutlicht, und im Anschluss dessen eine mögliche Verallgemeinerung auf Fuchssche Gruppen diskutiert.
Diese Arbeit beschäaftigt sich mit den Eigenschaften dynamischer Systeme, die in Form von autonomen Differentialgleichungen vorliegen. Genauer: Das Langzeitverhalten dieser dynamischen Systeme soll untersucht werden. Es läßtt sich beschreiben durch für das jeweilige System charakteristische Mengen, die attrahierenden Mengen und deren Einzugsbereiche. Attrahierende Mengen sind bezüglich eines dynamischen Systems invariante Mengen, die Trajektorien des dynamischen Systems, die in ihrer Umgebung starten, anziehen. Der Einzugsbereich einer attrahierenden Menge ist die Menge aller Punkte, die von der attrahierenden Menge angezogen werden. Betrachtet werden Systeme, die von einer Eingangsfunktion abhängen. Diese Eingangsfunktion kann je nach Zusammenhang eine Störung des dynamischen Systems oder eine Kontrolle desselben darstellen. Werden Störungen betrachtet, so sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die für alle Eingangsfunktionen gelten, zu untersuchen. Diese werden in dieser Arbeit als starke Eigenschaften bezeichnet. Werden Kontrollen betrachtet, sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die nur für mindestens eine Eingangsfunktion erfüllt sind, zu untersuchen. Sie werden hier als schwache Eigenschaften bezeichnet. Man betrachte beispielsweise einen Punkt, der zu einer invarianten Menge gehört. Zu jeder Eingangsfunktion gibt es eine zugehörige Trajektorie, die an diesem Punkt startet. Starke Invarianz bedeutet, daß keine dieser Trajektorien jemals die invariante Menge verläßt, schwache Invarianz, da mindestens eine dieser Trajektorien niemals die invariante Menge verläßt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der schwachen Einzugsbereiche. Sie lassen sich nur in Ausnahmefällen durch theoretische Überlegungen finden. Daher ist es von Nutzen, diese Mengen numerisch zu berechnen. Hier soll deshalb die benötigte Theorie bereitgestellt werden, um schwache Einzugsbereiche mit einem Unterteilungsalgorithmus anzunähern. Ein Unterteilungsalgorithmus dient allgemein dazu, innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge eine Menge, die eine bestimmte Eigenschaft hat, zu finden. Die Idee eines solchen Algorithmus ist es einfach, die Grundmenge in "Zellen" zu unterteilen und für jede dieser Zellen zu prüfen, ob sie ganz, gar nicht oder teilweise zur gesuchten Menge gehört. Gehört eine Zelle nur teilweise zur gesuchten Menge, so wird sie weiter unterteilt und für die "Teilzellen" erneut entschieden, ob sie zur gesuchten Menge gehören. Für die Berechnung eines schwachen Einzugsbereiches bedeutet dies, daß für jede Zelle überprüft werden muß, ob es eine Kontrollfunktion gibt, mit deren Hilfe Trajektorien der betrachteten Differentialgleichung, die innerhalb der Zelle starten, in eine gegebene schwach attrahierende Menge (bzw. eine passend gewählte Umgebung dieser Menge) gesteuert werden können.
Komplexität von Gitterproblemen : Nicht-Approximierbarkeit und Grenzen der Nicht-Approximierbarkeit
(2000)
Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P <> NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO exp(1/log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n/ sqrt(log n) unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q >= N, so daß maxi minp2Z |q alpha i - p| minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen. Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P 6= NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO(1= log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=plog n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q <= N, so daß maxi ...... minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen alpha1,......, alphan und eine Hauptnennerschranke N einen Nenner ~q mit 1 <= ~q <= f(n)N berechnet, so daß ~q bis auf einen Faktor f(n) = nO(1= log0:5+epsilon n) ein Best Approximations Nenner ist, wobei epsilon > 0 eine beliebige Konstante ist. Wir zeigen, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=log n unter plausiblen Annahmen nicht mölich ist. Wir untersuchen die Konsequenzen dieser Resultate zur Konstruktion von im Durchschnitt schwierigen Gitterproblemen.
Optimierung von Phasen- und Ratenparametern in einem stochastischen Modell neuronaler Feueraktivität
(2014)
In unserem Gehirn wird Information von Neuronen durch die Emission von Spikes repräsentiert. Als wichtige Signalkomponenten werden hierbei die Rate (Anzahl Spikes), die Phase (zeitliche Verschiebung der Spikes) und synchrone Oszillationen (rhythmische Entladungen der Neuronen am selben Zyklus) diskutiert.
In dieser Arbeit wird untersucht, wie Rate und Phase für eine optimale Detektion miteinander kombiniert werden und abhängig vom gewählten Parameterbereich wird der Beitrag der Phase quantifiziert.
Dies wird anhand eines stochastischen Spiketrain-Modell untersucht, das hohe Ähnlichkeiten zu empirischen Spiketrains zeigt und die drei genannten Signalkomponenten beinhaltet. Das ELO-Modell („exponential lockig to a free oscillator“) ist in zwei Prozessstufen unterteilt: Im Hintergrund steht ein globaler Oszillationsprozess, der unabhängige und normal-verteilte Intervallabschnitte hervorbringt (Oszillation). An den Intervallgrenzen starten unabhängig, inhomogene Poisson-Prozesse (Synchronizität) mit exponentiell abnehmender Feuerrate, die durch eine stimulusspezifische Rate und Phase festgelegt ist.
Neben einer analytischen Bestimmung der optimalen Parameter im Falle reiner Raten- bzw. Phasencodierung, wird die gemeinsame Codierung anhand von Simulationsstudien analysiert.
Binärsuchbäume sind eine wichtige Datenstruktur, die in der Informatik vielfach Anwendung finden. Ihre Konstruktion ist deterministisch, zur Analyse ihrer Eigenschaften wird aber eine rein zufällige Eingabe zugrundegelegt. Viele Größe, wie z.B. Tiefe, Höhe und Pfadlänge werden seit Jahren viel untersucht. Als besonders interessant hat sich die Analyse des Profils, der Anzahl Knoten einer bestimmten Tiefe herausgestellt. In dieser Arbeit wird ein funktionaler Grenzwertsatz für das am Erwartungswert normierte Profil vorgestellt. Dazu werden unterschiedliche Zugänge gewählt, die hauptsächlich auf dem sogenannten Profil-Polynom beruhen. Zunächst wird ein klassischer Zugang mit Hilfe von Martingalen besprochen. Der diskrete Prozess wird dazu auf kanonische Weise in ein zeitstetiges Modell (Yule-Prozess) eingebettet. Ergebnisse im kontinuierlichen Prozess werden dann durch Stoppen auf den diskreten übertragen. Zudem wird ein neuerer Zugang vorgestellt, der auf der Kontraktionsmethode in Banachräumen unter Verwendung der Zolotarev-Metrik beruht.
Die vorliegende Arbeit untersucht ausgewählte Eigenschaften von Preferential Attachment-Graphen. Darunter verstehen wir eine Klasse komplexer zufälliger Graphen, die mit einer vorgegebenen Konfiguration gestartet werden und anschließend mit jedem Zeitschritt um eine Ecke und m Kanten wachsen. Die Wachstumsregeln sind so gestaltet, dass eine neue Ecke ihre Kanten bevorzugt an Ecken sendet, die bereits mit vielen anderen Ecken verbunden sind, woraus sich die Bezeichnung Preferential Attachment (PA) ableitet. Die Arbeit stellt zunächst heuristisch die Eigenschaft der Skalenfreiheit von PA-Modellen vor und bespricht anschließend einen Beweis zu dieser These. Weiter betrachten wir den Durchmesser von PA-Graphen und untersuchen das Verhalten bei Anwachsen des Graphen. Wir erkennen, dass der Durchmesser bei wachsendem Graphen deutlich langsamer wächst, was wir als Small World-Phänomen bezeichnen. Die zentralen Aussagen und Beweise orientieren sich an den Arbeiten von Remco van der Hofstad, der die bekannten PA-Modelle um einen Parameter erweitert hat. Damit ist es möglich, sowohl logarithmische als auch doppelt-logarithmische Schranken für den Durchmesser zu erhalten.
Die vorliegende Dissertation analysiert Großinvestorhandelsstrategien in illiquiden Finanzmärkten. Ein Großinvestor beeinflusst die Preise der Wertpapiere, die er handelt, so dass der daraus resultierende Feedbackeffekt berücksichtigt werden muss. Der Preisprozess wird durch eine Familie von cadlag Semimartingalen modelliert, die in dem zusätzlichen Parameter stetig differenzierbar ist. Ziel ist es, eine möglichst allgemeine Strategiemenge zu bestimmen, für die eine Vermögensdynamik definiert werden kann. Es sind dies vorhersehbare Prozesse von wohldefinierter quadratischer Variation entlang Stoppzeiten. Sie erweisen sich als laglad. Die Vermögensdynamikzerlegung zeigt, dass bei stetigen adaptierten Strategien von endlicher Variation (zahme Strategien) die quadratischen Transaktionskostenterme verschwinden und der Gewinnprozess nur noch aus einem nichtlinearen stochastischen Integral besteht. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen gewisse Approximationen vorhersehbarer laglad Strategien durch adaptierte stetige Strategien von endlicher Variation möglich sind. Im Fall, dass der Approximationsfehler für die Risikoeinstellung des Großinvestors erträglich ist, kann er seine Investmentziele durch Verwendung dieser zahmen Strategien, Liquiditätskosten vermeidend, erreichen. In diesem Fall ist der Gewinnprozess durch das nicht-lineare stochastische Integral gegeben.