Mathematik
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Die letzten Jahrzehnte brachten einen enormen Zuwachs des Wissens und Verständnisses über die molekularen Prozesse des Lebens.Möglich wurde dieser Zuwachs durch die Entwicklung diverser Methoden, mit denen beispielsweise gezielt die Konzentration einzelner Stoffe gemessen werden kann oder gar alle anwesenden Metaboliten eines biologischen Systems erfasst werden können. Die großflächige Anwendung dieser Methoden führte zur Ansammlung vieler unterschiedlicher -om-Daten, wie zum Beispiel Metabolom-, Proteom- oder Transkriptoms-Datensätzen. Die Systembiologie greift auf solche Daten zurück, um mathematische Modelle biologischer Systeme zu erstellen, und ermöglicht so ein Studium biologischer Systeme auch außerhalb des Labors.
Für größere biologische Systeme stehen jedoch meistens nicht alle Informationen über Stoffkonzentrationen oder Reaktionsgeschwindigkeiten zur Verfügung, um eine quantitative Modellierung, also die Beschreibung von Änderungsraten kontinuierlicher Variablen, durchführen zu können. In einem solchen Fall wird auf Methoden der qualitativen Modellierung zurückgegriffen. Eine dieser Methoden sind die Petrinetze (PN), welche in den 1960er Jahren von Carl Adam Petri entwickelt wurden, um nebenläufige Prozesse im technischen Umfeld zu beschreiben. Seit Anfang der 1990er Jahre finden PN auch Anwendung in der Systembiologie, um zum Beispiel metabolische Systeme oder Signaltransduktionswege zu modellieren. Einer der Vorteile dieser Methode ist zudem, dass Modelle als qualitative Beschreibung des Systems begonnen werden können und im Laufe der Zeit um quantitative Beschreibungen ergänzt werden können.
Zur Modellierung und Analyse von PN existieren bereits viele Anwendungen. Da das Konzept der PN jedoch ursprünglich nicht für die Systembiologie entwickelt wurde und meist im technischen Bereich verwendet wird, existierten kaum Anwendungen, die für den Einsatz in der Systembiologie entwickelt wurden. Daher ist auch die Durchführung der für die Systembiologie entwickelten Analysemethoden für PN nicht mit diesen Anwendungen möglich. Die Motivation des ersten Teiles dieser Arbeit war daher, eine Anwendung zu schaffen, die speziell für die PN-Modellierung und Analyse in der Systembiologie gedacht ist, also in ihren Analysemethoden und ihrer Terminologie sich an den Bedürfnissen der Systembiologie orientiert. Zudem sollte die Anwendung den Anwender bei der Auswertung der Resultate der Analysemethoden visuell unterstützen, indem diese direkt visuell im Kontext des PN gesetzt werden. Da bei komplexeren PN die Resultate der Analysemethoden in ihrer Zahl drastisch anwachsen, wird eine solche Auswertung dieser notwendig. Aus dieser Motivation heraus entstand die Anwendung MonaLisa, dessen Implementierung und Funktionen im ersten Teil der vorliegenden Arbeit beschrieben werden. Neben den klassischen Analysemethoden für PN, wie den Transitions- und Platz-Invarianten, mit denen grundlegende funktionale Module innerhalb eines PN gefunden werden können, wurden weitere, meist durch die Systembiologie entwickelte, Analysemethoden implementiert. Dazu zählen zum Beispiel die Minimal Cut Sets, die Maximal Common Transitions Sets oder Knock-out-Analysen. Mit MonaLisa ist aber auch die Simulation des dynamischen Verhaltens des modellierten biologischen Systems möglich. Hierzu stehen sowohl deterministische als auch stochastische Verfahren, beispielsweise der Algorithmus von Gillespie zur Simulation chemischer Systeme, zur Verfügung. Für alle zur Verfügung gestellten Analysemethoden wird ebenfalls eine visuelle Repräsentation ihrer Resultate bereitgestellt. Im Falle der Invarianten werden deren Elemente beispielsweise in der Visualisierung des PN eingefärbt. Die Resultate der Simulationen oder der topologischen Analyse können durch verschiedene Graphen ausgewertet werden. Um eine Schnittstelle zu anderen Anwendungen zu schaffen, wurde für MonaLisa eine Unterstützung einiger gängiger Dateiformate der Systembiologie geschaffen, so z.B. für SBML und KGML.
Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der topologischen Analyse eines Datensatzes von 2641 Gesamtgenom Modellen aus der path2models-Datenbank. Diese Modelle wurden automatisiert aus dem vorhandenen Wissen der KEGG- und der MetaCyc-Datenbank erstellt. Die Analyse der topologischen Eigenschaften eines Graphen ermöglicht es, grundlegende Aussagen über die globalen Eigenschaften des modellierten Systems und dessen Entstehungsprozesses zu treffen. Daher ist eine solche Analyse oft der erste Schritt für das Verständnis eines komplexen biologischen Systems. Für die Analyse der Knotengrade aller Reaktionen und Metaboliten dieser Modelle wurden sie in einem ersten Schritt in PN transformiert. Die topologischen Eigenschaften von metabolischen Systemen werden in der Literatur schon sehr gut beschrieben, wobei die Untersuchungen meist auf einem Netzwerk der Metaboliten oder der Reaktionen basieren. Durch die Verwendung von PN wird es möglich, die topologischen Eigenschaften von Metaboliten und Reaktionen in einem gemeinsamen Netzwerk zu untersuchen. Die Motivation hinter diesen Untersuchungen war, zu überprüfen, ob die schon beschriebenen Eigenschaften auch für eine Darstellung als PN zutreffen und welche neuen Eigenschaften gefunden werden können. Untersucht wurden der Knotengrad und der Clusterkoeffizient der Modelle. Es wird gezeigt, dass einige wenige Metaboliten mit sehr hohem Knotengrad für eine ganze Reihe von Effekten verantwortlich sind, wie beispielsweise dass die Verteilung des Knotengrades und des Clusterkoeffizienten, im Bezug auf Metaboliten, skalenfrei sind und dass sie für die Vernetzung der Nachbarschaft von Reaktionen verantwortlich sind. Weiter wird gezeigt, dass die Größe eines Modelles Einfluss auf dessen topologische Eigenschaften hat. So steigt die Vernetzung der Nachbarschaft eines Metaboliten, je mehr Metaboliten in einem biologischen System vorhanden sind, gleiches gilt für den durchschnittlichen Knotengrad der Metaboliten.
Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : II.
(1921)
Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : I.
(1919)
Gegenstand dieser Arbeit sind Galoisoperationen auf quasiplatonischen Riemannschen Flächen mit einer Automorphismengruppe isomorph zu PSL(2,F(q)). Quasiplatonische Riemannsche Flächen werden durch torsionsfreie Normalteiler N in einer Dreiecksgruppe D uniformisiert, d.h. N ist die universelle Überlagerungsgruppe und die Flächen, die man auch als algebraische Kurven beschreiben kann, sind isomorph zu N\U, wenn U die obere Halbebene bezeichnet. Bzgl. der Größe der Automorphismengruppen bilden die quasiplatonischen Kurven die lokalen Maxima im Modulraum. Die absoluten Maxima liegen bei den Hurwitz-Kurven; hier hat die Automorphismengruppe die maximale Größe von 84(g-1), wenn g>1 das Geschlecht der Kurve ist. Der Normalisator in PSL(2,R) der Überlagerungsgruppe N ist dann die Dreiecksgruppe mit Signatur (2,3,7). Macbeath hat die Bedingungen dafür gefunden, wann PSL(2,F(q)) eine Hurwitz-Gruppe ist. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass q=p eine Primzahl kongruent +-1 mod 7 ist. Hier hat man drei nicht-isomorphe Kurven, die jedoch alle galoiskonjugiert zueinander sind. In der Arbeit werden Bedingungen angegeben, unter denen sich dieses Resultat auf Dreiecksgruppen D mit einer Signatur der Form (2,m_1,m_2) verallgemeinern lässt. Dabei gehen einerseits Ergebnisse von Frye ein, der die Anzahl der verschiedenen torsionsfreien Normalteiler N<D mit Quotienten PSL(2,F(q)) über die Spurtupel der Erzeugenden von D bestimmt hat. Andererseits wird eine Methode von Streit verwendet, mit der man die Galoisoperation auf den Kurven anhand des Verhaltens der Multiplikatoren der Erzeugenden in der Automorphismengruppe nachvollziehen kann. Es zeigt sich, dass sich Spur- und Multiplikatortupel entsprechen, woraus man die Anzahl und Länge der Galois-Orbits erhält. Außerdem lässt sich der Definitionskörper der Kurven bestimmen. Offen bleibt das genaue Verhalten bei Signaturen (m_0,m_1,m_2) mit m_i ungleich 2 für alle i. Hier gibt es zu jedem Multiplikatortupel zwei verschiedene Spurtupel. Kann man die Kurven durch die Multiplikatoren beschreiben, dann erhält man Projektionen D->>PSL(2,F(q)) auch über die Quaternionenalgebra, die die Dreiecksgruppe über ihrem Spurkörper erzeugt. Die Normalteiler erweisen sich dann als Schnitt der Dreiecksgruppe mit einer Hauptkongruenzuntergruppe nach einem Primideal P|char(F(q)) in der Norm-1-Gruppe einer Ordnung der Quaternionenalgebra. Dabei ist das Spurtripel in PSL(2,F(q)) gerade das Spurtripel aus D modulo P. Ändert man P, so erhält man ein anderes Spurtripel in PSL(2,F(q)), also auch einen anderen Normalteiler. Bilden die zugehörigen Kurven eine Bahn unter der Galoisoperation, dann ergeben sich alle Normalteiler auf diese Weise. Die Galoisoperation auf den Tripeln der Multiplikatoren, also die Galoisoperation auf den Kurven, ist verträglich mit der Operation, die die Primideale P|char(F(q)) permutiert. Wir erhalten also eine natürliche Korrespondenz zwischen der Galoisoperation auf den Kurven einerseits und der Operation auf den Primidealen andererseits.
Die Arbeit befasst sich mit einer Vereinfachung des von Devroye (1999) geprägten Begriffs der random split trees und verallgemeinert diesen im Sinne von Janson (2019) auf unbeschränkten Verzweigungsgrad. Diese Verallgemeinerung deckt auch preferential attachment trees mit linearen Gewichten ab, wofür ein Beweis von Janson (2019) aufbereitet wird. Zusätzlich bleiben die von Devroye (1999) nachgewiesenen Eigenschaften über die Tiefe der hinzugefügten Knoten erhalten.
Der Begriff der editierfreundlichen Kryptographie wurde von Mihir Bellare, Oded Goldreich und Shafi Goldwasser 1994 bzw. 1995 eingeführt. Mit einem editierfreundlicher Verschlüsselungs- oder Unterschriftenverfahren kann man aus einer Verschlüsselung bzw. Unterschrift zu einer Nachricht schnell eine Verschlüsselung oder Unterschrift zu einer ähnlichen Nachricht erstellen. Wir geben eine Übersicht über die bekannten editierfreundlichen Verfahren und entwickeln sowohl ein symmetrisches als auch ein asymmetrisches editierfreundliches Unterschriftenverfahren (IncXMACC und IncHSig). Wir zeigen, wie man mit editierfreundlichen Schemata überprüfen kann, ob die Implementierung einer Datenstruktur korrekt arbeitet. Basierend auf den Ideen der editierfreundlichen Kryptographie entwickeln wir effiziente Verfahren für spezielle Datenstrukturen. Diese Ergebnisse sind in zwei Arbeiten [F97a, F97b] zusammengefaßt worden.
In der vorliegenden Diplomarbeit beschäftigen wir uns mit kryptographisch sicheren Pseudozufallsgeneratoren. Diese e±zienten Algorithmen erzeugen zu zufälliger Eingabe deterministisch eine längere Bitfolge, die praktisch von einer Folge zufälliger Münzwürfe nicht unterscheidbar ist. Wir geben die Definitionen von A. Yao sowie M. Blum und S. Micali, beweisen die Äquivalenz und charakterisieren den Unterschied zur klassischen Sichtweise von Zufallsgeneratoren. Mit der Blum-Micali-Konstruktion zeigen wir, wie man aus einer Oneway-Permutation und zugehörigem Hardcore-Prädikat einen kryptographisch sicheren Pseudozufallsgenerator konstruiert: Man wendet auf einen zufälligen Startwert iterativ die Oneway-Funktion an und gibt jeweils das Hardcore-Prädikat des Urbilds aus. Wir stellen das allgemeine Hardcore- Prädikat inneres Produkt modulo 2 von L.A. Levin und O. Goldreich vor und beweisen mit Hilfe des XOR-Lemmas von U.V. Vazirani und V.V. Vazirani die Verallgemeinerung zu einer Hardcore-Funktion, die statt eines Prädikats mehrere Bits ausgibt. Man geht davon aus, daß die Verschlüsselungsfunktionen des RSA- und des Rabin-Public- Key-Kryptosystems Oneway-Permutationen sind. Basierend auf dem Rabin-System haben L. Blum, M. Blum und M. Shub den x2-mod-N-Generator aufgebaut, W. Alexi, B. Chor, O. Goldreich und C.P. Schnorr haben den RSA-Generator konstruiert und den Sicherheitsbeweis zum x2-mod-N-Generator verbessert. Diese Generatoren basieren auf der Blum-Micali-Konstruktion mit dem Hardcore-Prädikat des untersten Bits. Durch neue Ideen können wir die beweisbare Sicherheit der Generatoren deutlich erhöhen, so daß in der Praxis kleinere Schlüssellängen genügen. Bisher war zum Beispiel für den x2-mod-N-Generator bekannt, daß man mit einem Algorithmus A, der das unterste Bit der Wurzel modulo einer n-Bit- Blumzahl mit Wahrscheinlichkeit 1 2 + ² in Zeit |A| = ¡n3¢ berechnet, den Modul in Zeit O¡n3² 9|A|¢ mit Wahrscheinlichkeit ²2 64 faktorisieren kann. Wir verbessern die Laufzeit zu O¡n² 4 log2(n² 1)|A|¢ und Wahrscheinlichkeit 1 9 . Diese neuen Resultate wurden auf der Eurocrypt-Konferenz im Mai 1997 in Konstanz vorgestellt, D.E. Knuth hat sie bereits in die neue Auflage seines Standardwerks The Art of Computer Programming aufgenommen.
Okamoto (Crypto 1992) hat die RSA-Repräsentation als Basis eines gegen aktive Angreifer sicheren Identifikationsschemas eingeführt. Eine RSA- Repräsentation von X E Z * N ist ein Paar (x; r) E Z e x Z * N mit X = g x r e (mod N) für vorgegebenes g E ZN , RSA-Modul N und primen RSA- Exponenten e. Das zugehörige Repräsentationsproblem, also das Auffinden eines Wertes X samt zweier verschiedener Darstellungen, ist äquivalent zum RSA-Problem, der Berechnung einer e-ten Wurzel von g modulo N . Von Brassard, Chaum und Crépeau (Journal Computing System Science, 1988) sowie Damgard (Journal of Cryptology, 1995) stammt eine analoge Konstruktion der Form X = g x r 2 t (mod N) mit x E Z 2 t für den Spezialfall der Blum-Zahlen als Modul N und gegebenes t größer gleich 1, wo die Möglichkeit, zwei verschiedene Repräsentationen zu berechnen, gleichbedeutend zur Zerlegung des Moduls in die Primfaktoren ist. Im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit verallgemeinern wir dieses Konzept systematisch auf beliebige (RSA-)Module durch die Einführung eines Anpassungsparameters r:= r (N ), so dass X = g x r 2 r t (mod N) mit x E Z 2 t. Basierend auf dieser als Faktorisierungsrepräsentation bezeichneten Darstellung leiten wir Identifikations-, Signatur- und Blinde-Unterschriften-Verfahren her. Im zweiten Teil verwenden wir sowohl RSA- als auch Faktorisierungsrepräsentation als Grundlage sogenannter non-malleable Commitment-Schemata zur Hinterlegung (Verbriefung) einer geheimen Nachricht. Bei dem von Dolev, Dwork und Naor (SIAM Journal on Computing, 2000) eingeführten Begriff der Non-Malleability soll ein Angreifer außer Stande sein, die Hinterlegung einer Nachricht m so abzuändern, dass er diese später dann mit einem in Relation zu m stehenden Wert, man denke zum Beispiel an m 1, aufdecken kann. Von Dolev, Dwork und Naor stammt ein allgemeiner Ansatz zur Konstruktion von non-malleable Commitment-Schemata aufbauend auf einem sogenannten Knowledge-Extraktor. Für die RSA-Darstellung verfügt das von Okamoto entworfene Protokoll als Proof-Of-Knowledge über einen solchen Extraktor, bei dem im Fall der Faktorisierungsrepräsentation von uns entwickelten Verfahren fehlt allerdings der Extraktor. Aus diesem Grund stellen wir mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes ein neues, auf Commitments zugeschnittenes Protokoll mit Knowledge-Extraktor vor, das in Verbindung mit der Faktorisierungsrepräsentation ein effizientes Hinterlegungsschema ergibt. Zum Abschluß wird bei einem Commitment- Verfahren mit abgeschwächter Non-Malleability-Eigenschaft von Di Crescenzo, Katz, Ostrovsky und Smith (Eurocrypt 2001) die RSA- durch die Faktorisierungsrepräsentation ersetzt und das Schema vereinfacht.
Bei der Untersuchung des Langzeitverhaltens von Verzweigungsprozessen und räumlich verzweigenden Populationen ist die Betrachtung von Stammbäumen zunehmend in den Vordergrund gerückt. Probabilistische Methoden haben die in der Theorie vorherrschenden analytischen Techniken ergänzt und zu wesentlichen neuen Einsichten geführt. Die vorliegende Synopse diskutiert eine Auswahl meiner Veröffentlichungen der letzten Jahre. Den Arbeiten ist gemeinsam, dass durch das Studium der genealogischen Verhältnisse in der Population Aussagen über deren Langzeitverhalten gewonnen werden konnten. Zwei dieser Arbeiten behandeln den klassischen Galton-Watson Prozess. Eine weitere Arbeit befasst sich mit Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung, sie ist technische wesentlich anspruchsvoller. Die vierte der hier besprochenen Arbeiten beschäftigt sich mit dem Wählermodell, einem der Prototypen interagierender Teilchensysteme.
Installment Optionen
(2004)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit Installment Optionen und deren Bewertung und Hedgemöglichkeiten. Installment Optionen werden vor allem im internationalen Treasurymanagement eingesetzt und dienen der Absicherung von Wechselkursrisiken. Die Besonderheit besteht darin, daß ein Konzern die Optionsprämie über mehrere Zeitpunkte aufteilen kann, zu denen er jeweils entscheidet, ob die Absicherung überhaupt noch benötigt wird. Dies könnte unter Umständen nicht mehr der Fall sein, wenn das zugrunde liegende internationale Geschäft des Konzerns wider Erwarten nicht zustande gekommen ist. Der exakte Wert einer Installment Option im Black-Scholes Modell besteht aus einem Ausdruck von Mehrfachintegralen, wohingegen die Anwendung verschiedener Bewertungsmethoden auf diesen approximierte Werte liefert. Die Untersuchung des Verhaltens mehrerer bekannter Methoden und die Entwicklung einer neuen Bewertungsformel für Installment Option ist Inhalt dieser Arbeit. Weiterhin wird die kontinuierliche Version der Installment Option betrachtet und für diese ein neuer Hedge bewiesen.
Komplexität und Zufälligkeit
(1978)
Aus Sicht der Pädagogischen Psychologie ist Lernen ein Prozess, bei dem es zu überdauernden Änderungen im Verhaltenspotenzial als Folge von Erfahrungen kommt. Aus konstruktivistischer Perspektive lässt sich Lernen am besten als eine individuelle Konstruktion von Wissen infolge des Entdeckens, Transformierens und Interpretierens komplexer Informationen durch den Lernenden selbst beschreiben. Erkennt der Lernende den Sinn und übernimmt, erweitert oder verändert ihn für sich selbst, so ist der Grundstein für nachhaltiges Lernen gelegt.
Lernen ist ein sehr individueller Prozess. Schule muss also individuelles Lernen auch im Klassenverband ermöglichen und der Lehrende muss zum Lerncoach werden, da sonst kein individuelles und eigenaktives Lernen möglich ist. Das Unterrichtskonzept des forschend-entdeckenden Lernens bietet genau diese Möglichkeit. Es erlaubt die Erfüllung der drei Grundbedürfnisse eines Menschen nach Kompetenz, Autonomie und sozialer Eingebundenheit und ermöglicht damit Motivation, Leistung und Wohlbefinden (Ryan & Deci, 2004).
Forschend-entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht ist schrittweise geprägt von folgenden Merkmalen:
- eine problemorientierte Organisation
- selbstständiges, eigenaktives und eigenverantwortliches Lernen der Schülerinnen und Schüler
- individuelle Lernwege und Lernprozesse
- Entwicklung eigener Fragestellungen und Vorgehensweisen der Lernenden
- eigenes Aufstellen von Hypothesen und Vermutungen; Überprüfung der Vermutungen; Dokumentation, Interpretation und Präsentation der Ergebnisse
- eine fördernde Atmosphäre, in der die Lernenden nach und nach forschende Arbeitstechniken vermitteln bekommen
- kooperative Lernformen und damit Förderung von Team- und Kommunikationsfähigkeit
- Unterrichtsinhalte mit hohem Realitäts- und Sinnbezug, gesellschaftlicher Relevanz, Möglichkeiten der Interdisziplinarität
- Stetige Angebote der Unterstützung
Das entdeckende Lernen kann als Vorstufe des forschenden Lernens gesehen werden, da hier der wissenschaftliche Fokus noch nicht so stark ausgeprägt ist. Um alle Phasen auf dem Weg zu annähernd wissenschaftlichen forschenden Lernens anzusprechen, verwenden wir den Begriff des forschend-entdeckenden Lernens.
Voraussetzung ist, dass die Lehrkräfte das forschende Lernen als aktiven, produktiven und selbstbestimmten Lernprozess selbst zuvor erlebt haben müssen. Unter anderem können die Lehrkräfte Unterrichtsprozesse danach besser planen und währenddessen unterstützen, da sie selbst forschend-entdeckendem Lernen „ausgesetzt“ waren und vergleichbare Prozesse durchlebt haben.
Hiermit wird deutlich, dass forschendes Lernen nicht bedeuten kann, dass die Schülerinnen und Schüler auf sich gestellt sind. Die gezielte Unterstützung der Lernenden beim Entdecken und Forschen durch die Lehrkraft ist für einen ertragreichen Lernerfolg unverzichtbar und muss Teil der Vorbereitung und des Prozesses sein.
Internationale Studien zeigen, dass forschend-entdeckende Unterrichtsansätze (inquiry-based learning IBL) im Mathematikunterricht bei geeigneter Umsetzung Lernen verbessern, Lernerfolg und Lernleistung steigern und Freude gegenüber Mathematikunterricht erhöhen können. Die Implementierung dieses Unterrichtsansatzes ist trotz der positiven Ergebnisse nicht alltäglich.
Um neue Unterrichtskonzepte in den Schulalltag zu bringen beziehungsweise um bestehende Unterrichtskonzepte neu in den Schulalltag zu bringen bedarf es Fortbildungen zur Professionalisierung von Lehrerinnen und Lehrern.
Im Rahmen dieser Arbeit wird der aktuelle Stand auf dem Gebiet des Lokalen Lovász Lemmas (LLL) beschrieben und ein Überblick über die Arbeiten zu konstruktiven Beweisen und Anwendungen gegeben. Ausgehend von Jószef Becks Arbeit zu einer algorithmischen Herangehensweise, haben sich in den letzten Jahren im Umfeld von Moser und Tardos und ihren Arbeiten zu einem konstruktiven Beweis des LLL eine erneute starke Beschäftigung mit dem Thema und eine Fülle von Verbesserungen entwickelt.
In Kapitel 1 wird als Motivation eine kurze Einführung in die probabilistische Methode gegeben. Mit der First- und Second Moment Method werden zwei einfache Vorgehensweisen vorgestellt, die die Grundidee dieses Beweisprinzips klar werden lassen. Von Paul Erdős eröffnet, beschreibt es Wege, Existenzbeweise in nicht-stochastischen Teilgebieten der Mathematik mithilfe stochastischer Überlegungen zu führen. Das Lokale Lemma als eine solche Überlegung entstammt dieser Idee.
In Kapitel 2 werden verschiedene Formen des LLL vorgestellt und bewiesen, außerdem wird anhand einiger Anwendungsbeispiele die Vorgehensweise bei der Verwendung des LLL veranschaulicht.
In Kapitel 3 werden algorithmische Herangehensweisen beschrieben, die geeignet sind, von der (mithilfe des LLL gezeigten) Existenz gewisser Objekte zur tatsächlichen Konstruktion derselben zu gelangen.
In Kapitel 4 wird anhand von Beispielen aus dem reichen Schatz neuerer Veröffentlichungen gezeigt, welche Bewegung nach der Arbeit von Moser und Tardos entstanden ist. Dabei beleuchtet die Arbeit nicht nur einen anwendungsorientierten Beitrag von Haeupler, Saha und Srinivasan, sondern auch einen Beitrag Terence Taos, der die Beweistechnik Mosers aus einem anderen Blickwinkel beleuchtet.
Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu lösen, üben Schüler schon in der Mittelstufe. Für die einen ist es eine spannende mathematische Knobelei, für die anderen eher Quälerei. Doch den wenigsten ist bewusst, wie viele Leben dadurch jeden Tag gerettet werden. Die moderne medizinische Bildgebung beruht darauf, sehr viele Gleichungen nach sehr vielen Unbekannten aufzulösen.
In dieser Arbeit wurde deutlich, dass die Multilevel Monte Carlo Methode eine signifikante Verbesserung gegenüber der Monte Carlo Methode darstellt. Sie schafft es den Rechenaufwand zu verringern und in fast allen Fällen die gewollte Genauigkeit zu erreichen. Die Erweiterung durch Richardson Extrapolation brachte immer eine Verringerung des Rechenaufwands oder zumindest keine Verschlechterung, auch wenn nicht in allen Fällen die schwache Konvergenzordnung verdoppelt wurde.
Im Falle der Optionssensitivitäten ist eine Anwendung des MLMC-Algorithmus problematisch. Das Funktional, das auf den Aktienkurs angewendet wird, darf keine Unstetigkeitsstelle besitzen, bzw. im Falle des Gammas muss es stetig differenzierbar sein. Die Anwendung der MLMC Methode macht dann vor allem Sinn, wenn sich die Sensitivität als Funktion des Aktienkurses umformen lässt, so dass nur der Pfad der Aktie simuliert werden muss. Nur wenn dies nicht möglich ist, wäre es sinnvoll, die in Kapitel 6.5 am Beispiel des Deltas vorgestellte Methode zu benutzen, in der man einen zweiten Pfad für das Delta simuliert.
Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten in der Wahl von anderen varianzreduzierenden Methoden liegen oder durch Verwendung von Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung als das Euler-Verfahren (vgl. [7], Verwendung des Milstein-Verfahrens). In diesem Fall ist theoretisch ein Rechenaufwand der Größenordnung O(ϵexp-2) möglich, da die Anzahl der zu erstellenden Samples nicht mehr mit steigendem L erhöht wird. Somit könnte das L so groß gewählt werden, dass der Bias verschwindet und der MSE ausschließlich von der Varianz des Schätzers abhängt. Um diese auf eine Größenordnung von O(ϵexp2) zu bringen, ist es nötig, O(ϵexp2) Pfade zu erstellen (siehe Gleichung (3.6)), was den Rechenaufwand begründet.
Gitter sind diskrete additive Untergruppen des Rn. Praktische Bedeutung erlangte die Gittertheorie durch effziente Algorithmen zur Gitterbasenreduktion, mit deren Hilfe Optimierungsprobleme gelöst werden können. Der erste dieser Algorithmen wurde von Lenstra, Lenstra und Lovasz entwickelt. Schnorr und Euchner entwickelten effizientere Algorithmen. Sie untersuchten die Güte der Reduktion anhand von Rucksack-Problemen. Bei einem Rucksack-Problem der Dimension n müssen aus einer gegebenen Menge von n Gewichten diejenigen bestimmt werden, die zusammen einen gegeben Rucksack genau ausfüllen. Die Algorithmen von Schnorr und Euchner lösen fast alle Rucksack-Probleme der Dimensionen 42 bis 66. Meine neuen verbesserten Algorithmen lösen einen noch größeren Anteil der Rucksack-Probleme in kürzerer Rechenzeit. Gleichzeitig sind sie in Dimensionen 103 bis 151. Coster, Joux, LaMacchia. Odlyzko, Schnorr und Stern geben eine untere Schranke für die Größe der Gewichte von Rucksack-Problemen an, die fast immer gelöst werden können. Die Gewichte werden zufällig aus einem Intervall natüurlicher Zahlen gewählt. Dieses Ergebnis erweitere ich auf k-fache Rucksack-Probleme. Weiterhin kann für für die Wahl jedes Gewichtes eine beliebige Menge ganzer Zahlen festgelegt werden. Ebenso sind Mengen mit nur einem Element zulässig.
Der im Jahr 2004 am IWR Heidelberg entwickelte Neuronen Rekonstruktions-Algorithmus NeuRA extrahiert die Oberflächenmorphologie oder ein Merkmalskelett von Neuronenzellen, die mittels konfokaler oder Zwei-Photon-Mikroskopie als Bildstapel aufgenommen wurden. Hierbei wird zunächst das Signal-zu-Rausch-Verhältnis der Rohdaten durch Anwendung des speziell entwickelten trägheitsbasierten anisotropen Diffusionsfilters verbessert, dann das Bild nach der statistischen Methode von Otsu segmentiert und anschließend das Oberflächengitter der Neuronenzellen durch den Regularisierten Marching-Tetrahedra-Algorithmus rekonstruiert oder das Merkmalskelett mit einer speziellen Thinning-Methode extrahiert. In einschlägigen Vorarbeiten wurde mit Hilfe solcher Rekonstruktionen von Neuronenzellkernen gezeigt, dass diese, entgegen der vorher üblichen Meinung, nicht notwendigerweise rund sind, sondern Einstülpungen, sogenannte Invaginationen, aufweisen können. Der Einfluss der Invaginationen auf die Ausbreitung von Calciumionen innerhalb solcher Zellkerne konnte durch entsprechende numerische Simulationen systematisch untersucht werden.
Um diese Rekonstruktionsmethode auf hochaufgelöste Mikroskopaufnahmen anwenden zu können, wurden im Rahmen der vorliegenden Arbeit, die in NeuRA verwendeten Verfahren auf Basis von Nvidia CUDA auf moderner Grafikhardware parallelisiert und unter dem Namen NeuRA2 optimiert und neu implementiert. Erzielte Beschleunigungen von bis zu einem Faktor 100, bei Verwendung einer Hochleistungsgrafikkarte, zeigen, dass sich die moderne Grafikarchitektur besonders für die Parallelisierung von Bildverarbeitungsoperatoren eignet. Insbesondere das Herzstück des Rekonstruktions-Algorithmus - der sehr rechenintensive trägheitsbasierte anisotrope Diffusionsfilter - wurde durch eine clusterbasierte Implementierung, welche die parallele Verwendung beliebig vieler Grafikkarten ermöglicht, immens beschleunigt.
Darüber hinaus wurde in dieser Arbeit das Konzept von NeuRA verallgemeinert, um nicht nur Neuronenzellen aus konfokalen oder Zwei-Photon-Bildstapeln rekonstruieren zu können, sondern vielmehr die Oberflächenmorphologie oder Merkmalskelette von allgemeinen Objekten aus beliebigen Bildstapeln zu extrahieren. Dabei wird das ursprüngliche Konzept von Rauschreduktion, Bildsegmentierung und Rekonstruktion beibehalten. Für die einzelnen Schritte stehen aber nun eine Vielfalt von Bildverarbeitungs- und Rekonstruktionsmethoden zur Verfügung, die abhängig von der Beschaffenheit der Daten und den Anforderungen an die Rekonstruktion, ausgewählt werden können. Die meisten dieser Verfahren wurden ebenfalls auf Basis moderner Grafikhardware parallelisiert.
Die weiterentwickelten Rekonstruktionsverfahren wurden in mehreren Anwendungen eingesetzt: Einerseits wurden Oberflächen- und Volumengitter aus konfokalen Bildstapeln und Computertomographie-Aufnahmen generiert, die für verschiedene numerische Simulationen eingesetzt wurden oder eingesetzt werden sollen. Des Weiteren wurden über zwanzig antike Keramikgefäße und Fragmente anderer antiker Keramiken rekonstruiert. Hierbei wurde jeweils die Rohdichte und bei den komplett erhaltenen Gefäßen das Füllvolumen berechnet. Es konnte gezeigt werden, dass dieses Verfahren exakter ist als die in der Archäologie üblichen Methoden zur Volumenbestimmung von Gefäßen. Außerdem zeigt sich eine Abhängigkeit der Rohdichte der rekonstruierten Objekte vom jeweils verwendeten Keramiktyp. Eine Analyse, wie genau die Krümmung von Objekten durch die Approximation von Dreiecksgittern dargestellt werden kann, wurde ebenfalls durchgeführt.
Zusätzlich wurde ein Verfahren zur Rekonstruktion der Merkmalskelette lebender Neuronenzellen oder Teilen von Neuronenzellen entwickelt. Bei den damit rekonstruierten Daten wurden einzelne dendritische Dornfortsätze, auch Spines genannt, hochaufgelöst mikroskopiert. Auf Basis dieser Rekonstruktionen kann die Länge von Dendriten oder einzelner Spines, der Winkel zwischen Dendritenverzweigungen, sowie das Volumen einzelner Spines automatisch berechnet werden. Mit Hilfe dieser Daten kann der Einfluss pharmakologischer Präparate und mechanischer Eingriffe in das Nervensystem von lebenden Versuchstieren systematisch untersucht werden.
Eine Adaption der beschriebenen Rekonstruktionsverfahren ist aufgrund deren einfacher Erweiterbarkeit und flexibler Verwendbarkeit für zukünftige Anwendungen leicht möglich.
Gitter sind diskrete, additive Untergruppen des IRm, ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Gitters heißt Gitterbasis. Die Anzahl der Basisvektoren eines Gitters ist eindeutig bestimmt und heißt Rang des Gitters. Zu jedem Gitter vom Rang n gibt es mehrere Gitterbasen, die man alle erhält, indem man eine Basismatrix B = [b1, · · · , bn] von rechts mit allen Matrizen aus der Gruppe GLn(ZZ) multipliziert. Eine wichtige Fragestellung der Gittertheorie ist es, zu einem gegebenen Gitter einen kürzesten, vom Nullvektor verschiedenen Gittervektor zu finden. Dieses Problem heißt das kürzeste Gittervektorproblem . Ein dazu verwandtes Problem ist das "nächste Gittervektorproblem", das zu einem beliebigen Vektor x aus IRm einen Gittervektor sucht, dessen Abstand zu x minimal ist. Aus dem "kürzesten Gittervektorproblem" entwickelte sich die Gitterbasenreduktion, deren Ziel es ist, eine gegebene Gitterbasis in eine Gitterbasis zu transformieren, deren Vektoren bzgl. der Euklidischen Norm kurz und möglichst orthogonal zueinander sind. Wichtig für die Güte einer Reduktion ist der Begriff der sukzessiven Minima ¸1(L), · · · , ¸n(L) eines Gitters L. Dabei ist ¸i(L) die kleinste reelle Zahl r > 0, für die es i linear unabhängige Vektoren cj 2 L gibt mit kcjk · r für j = 1, · · · , i. Man versucht, für ein Gitter L eine Gitterbasis b1, · · · , bn zu finden, bei der die Größe kbik / ¸i(L) für i = 1, · · · , n möglichst klein ist. Für Gitter vom Rang 2 liefert das Gauß'sche Reduktionsverfahren eine Gitterbasis mit kbik = ¸i(L) für i = 1, 2. Eine Verallgemeinerung der Gauß-Reduktion auf Gitter mit beliebigem Rang ist die im Jahre 1982 von Lenstra, Lenstra, Lovasz vorgeschlagene L3-Reduktion einer Gitterbasis, deren Laufzeit polynomiell in der Bitlänge der Eingabe ist. L3-reduzierte Gitterbasen approximieren die sukzessiven Minima bis auf einen (im Rang des Gitters) exponentiellen Faktor. Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil (Kapitel 1-6) wird ein neues Reduktionskonzept von M. Seysen aus der Arbeit "A Measure for the Non-Orthogonality of a Lattice Basis" behandelt und im zweiten Teil (Kapitel 7) ein aktuelles Ergebnis von M. Ajtai über die Faktorisierung ganzer Zahlen aus "The Shortest Vector Problem in L2 is NP-hard for Randomized Reductions"[2]. Seysen führte in [13] zu einer gegebenen Gitterbasis b1, · · · , bn die Größe ¾(A) ein, die nur von den Einträgen der zugehörigen Gram-Matrix A = [b1, · · · , bn]T · [b1, · · · , bn] und der Inversen A 1 abhängt. Sie hat die Eigenschaft, daß für jede Gitterbasis b1, · · · , bn mit Gram-Matrix A gilt, daß ¾(A) ¸ 1, wobei die Gleichheit genau dann gilt, wenn b1, · · · , bn orthogonal ist. Aus dieser Defintion ergibt sich folgender Reduktionsbegriff: Eine Gitterbasis b1, · · · , bn mit Gram-Matrix A heißt genau dann ¿ -reduziert, wenn ¾(A) minimal für alle Basen des Gitters ist. Der wesentliche Unterschied der ¿-Reduktion zur L3-Reduktion ist, daß die Größe ¾(A) unabhängig von der Reihenfolge der Basisvektoren ist, so daß eine ¿ -reduzierte Gitterbasis bei beliebiger Permutation der Basisvektoren ¿ -reduziert bleibt. Die ¿-Reduktion reduziert also im Gegensatz zur L3-Reduktion die Basisvektoren gleichmäßig. Seysen zeigte, daß man zu jedem Gitter vom Rang n eine Gitterbasis mit Gram-Matrix A findet, so daß ¾(A) durch eO((ln n)2) beschränkt ist. Daraus läßt sich ableiten, daß ¿ -reduzierte Gitterbasen eines Gitters vom Rang n die sukzessiven Minima bis auf den Faktor eO((ln n)2) approximieren. Da es sich bei der ¿-Reduktion um einen sehr starken Reduktionsbegriff handelt, für den es schwer ist, einen effizienten Algorithmus zu finden, definiert man folgenden schwächeren Reduktionsbegriff: b1, · · · , bn heißt genau dann ¿2-reduziert, wenn keine Basistransformation der Form bj := bj +k · bi mit 1 · i 6= j · n und k 2 ZZ die Gr¨oße ¾(A) erniedrigt. Für n = 2 entspricht die ¿-Reduktion sowohl der ¿2- Reduktion als auch der Gauß-Reduktion. Für die ¿2-Reduktion findet man einen effizienten Algorithmus. Wendet man diesen Algorithmus auf Rucksackprobleme an, so ergibt sich, daß durch einen Algorithmus, bestehend aus ¿2-Reduktion und anschließender L3-Reduktion, bei großer Dichte und bei kleiner Dimension wesentlich mehr Rucksackprobleme gelöst werden als durch den L3-Algorithmus. Die Faktorisierung großer ganzer Zahlen ist ein fundamentales Problem mit großer kryptographischer Bedeutung. Schnorr stellte in [11] erstmals einen Zusammenhang zwischen Gitterbasenreduktion und Faktorisierung her, indem er das Faktorisieren ganzer Zahlen auf das "nächste Gittervektorproblem in der Eins-Norm" zurückführte. Adleman führte in [1] das Faktorisieren ganzer Zahlen sogar auf das "kürzeste Gittervektorproblem in der Euklidischen Norm" zurück, allerdings unter zahlentheoretischen Annahmen. In [2] stellte Ajtai ein neues Ergebnis vor, in dem er das Faktorisieren ganzer Zahlen auf das "kürzeste Gittervektorproblem in der Euklidischen Norm" ohne zusätzliche Annahmen zurückführte.
Wir verallgemeinern die Reduktionstheorie von Gitterbasen für beliebige Normen. Dabei zeigen wir neue Eigenschaften reduzierter Basen für die verallgemeinerten Reduktionsbegriffe. Wir verallgemeinern den Gauß-Algorithmus zur Reduktion zweidimensionaler Gitterbasen für alle Normen und erhalten eine universelle scharfe obere Schranke für die Zahl seiner Iterationen. Wir entwickeln für spezielle lp-Normen eine Variante des Gauß-Algorithmus mit niedriger Bit-Komplexität. Hierzu wird Schönhages schneller Reduktionsalgorithmus für quadratische Formen auf die Reduktion von Gitterbasen im klassischen zentrierten Fall übertragen.
Große Stammbäume
(2003)
Sei T ein kritischer oder subkritischer Galton-Watson Stammbaum (GW-Baum) mit einer Kinderzahlverteilung endlicher oder unendlicher Varianz. Wir sind an der Struktur von T , bedingt darauf, dass T "groß" ist, interessiert. Der klassische sowie naheliegende Zugang ist, T auf eine große Gesamtgröße oder eine große Höhe zu bedingen. In dieser Arbeit werden drei, zum GW-Baum eng verwandte Typen von zufälligen Stammbäumen vorgestellt, deren Analyse aufschlussreiche Einsichten über große GW-Stammbäume liefert. Zur Untersuchung dieser auf große Gesamtgröße bedingten Stammbäume schlagen wir eine Familie von zufälligen, größenverzerrten Bäumen vor, deren auf Größe bedingte Verteilung mit der des, auf gegebener Größe bedingten, Baumes T übereinstimmt. Diese zufälligen Stammbäume besitzen eine einfache probabilistische Struktur, wenn man sie entlang der Ahnenlinien von rein zufällig gezogenen Knoten zerlegt. Die Verwandschaftsstruktur des von den gezogenen Knoten und der Wurzel aufgespannten Teilbaumes hängt im wesentlichen von dem asymptotischen Verhalten der Kinderzahlverteilung ab. Während bei endlicher Varianz diese Teilbäume asymptotisch binär sind, können bei unendlicher Varianz im Limes auch andere Formen auftreten. Wir zeigen, dass diese Teilbäume GW-Bäume bedingt auf ihre Gesamtblätterzahl sind. Mit Hilfe der Zerlegung entlang der Ahnenlinien erhalten wir zudem einen Grenzwertsatz für die reskalierte Gesamtgröße des Baumes mit einer Gamma-Verteilung als Limes. Die Analyse großer Bäume führen wir unter dem Aspekt des Größenverzerrens fort, indem wir eine weitere Familie zufälliger Bäume vorschlagen. Diese erhalten wir durch Größenverzerrung in der n-ten Generationsgröße. Wir werden sehen, dass der dadurch gewonnene zufällige Stammbaum eine ähnliche probabilistische Struktur wie der in der Gesamtgröße größenverzerrte Baum besitzt. Hier beweisen wir mit einfachen Überlegungen Aussagen über die Generation des jüngsten gemeinsamen Vorfahren (MRCA) von uniform aus Generation n gezogenen Knoten, sowie die Struktur des von diesen Knoten aufgespannten Skeletts. Schließlich betrachten wir die in [15] vorgestellte probabilistische Zerlegung des auf Mindesthöhe n bedingten GW-Baumes. Damit werden wir klassische Sätze über die Höhe des MRCA und die Grenzverteilung der reskalierten n-ten Generationsgröße für den Fall einer Kinderzahlverteilung mit unendlicher Varianz auf alternativem und anschaulichem Weg beweisen. Zudem erhalten wir eine Grenzverteilung für die Anzahl der Kinder des MRCA.
Der Zufall – ein Helfer und kein Störenfried : warum die Wissenschaft stochastische Modelle braucht
(2008)
Der Zufall hat in den Wissenschaften weithin einen zweifelhaften Ruf. Für die Philosophie hat Hegel festgestellt: »Die philosophische Betrachtung hat keine andere Absicht, als das Zufällige zu entfernen« (Die Vernunft in der Geschichte, 1822) – und ähnlich denkt man auch in anderen Wissenschaften. Die Auseinandersetzungen der Physik mit dem Zufall sind verschlungen und bis heute von Kontroversen begleitet. Was die Biologie betrifft, so herrscht noch einiger Argwohn gegenüber den modernen Evolutionstheorien, die sich entscheidend auf den Zufall stützen. Und dass derartige Theorien unvereinbar sind mit der Vorstellung von einer göttlichen Schöpfung der Welt, gilt unter manchen ihrer Gegner wie Befürworter als ausgemacht.
Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation wurden von F. John und L. Nirenberg in ihrer Arbeit von 1961 eingeführt. Das Konzept der beschränkten mittleren Oszillation findet erste Verwendung beim Beweis der Harnackschen Ungleichung für elliptische partielle Differentialgleichungen durch Moser. In dieser Arbeit wird die Idee der beschränkten mittleren Oszillation auf harmonische Räume (X,H) übertragen. Erstmals wurde dieses Konzept von H. Leutwiler in einem Artikel für allgemeine harmonische Räume entwickelt. Da die Mehrzahl der Ergebnisse in Leutwilers Arbeit nur für Brelotsche Räume oder sogar nur für die Laplacegleichung auf der oberen Halbebene gezeigt werden konnten, sind diese zum Beispiel nicht auf harmonische Räume anwendbar, die durch einen parabolischen Differentialoperator, wie die klassische Wärmeleitungsgleichung, erzeugt wurden. Ziel dieser Arbeit ist es nun die Theorie der harmonischen Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation für allgemeine harmonische Räume zu entwickeln und unter anderem die Leutwilerschen Resultate zu beweisen. Naturgemäß lassen sich die Beweise aus Leutwilers Arbeit im Allgemeinen nicht einfach übertragen. Vielmehr mußten zum Teil neue Beweisideen und Methoden gefunden werden. Insbesondere wird konsequent von Bezugsmaßen Gebrauch gemacht, die eine allgemeine Harnacksche Ungleichung für diesen Rahmen zur Verfügung stellen. Ausgehend von Resultaten von T. Lyons kann im zweiten Kapitel eine Charakterisierung des Raumes BMO(X) gezeigt werden, wie sie bisher nur im klassischen Fall bekannt war. Aufbauend auf eine Arbeit von Bliedtner und Loeb wird im dritten Kapitel zuerst eine abstrakte Integraldarstellung quasibeschränkter Funktionen hergeleitet, die in Theorem 3.1.9 ihren Niederschlag findet. Dieses Theorem erlaubt eine Darstellung der kleinsten harmonischen Majorante gewisser subharmonischer Funktionen in Theorem 3.1.15. Ausgehend von diesen Resultaten werden schließlich in Theorem 3.2.2 und Korollar 3.2.3 Charakterisierungen harmonischer Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation durch ihr Randverhalten erzielt, wie sie bisher nur im klassischen Fall der Laplacegleichung auf der oberen Halbebene in einer späteren Arbeit von Leutwiler gezeigt werden konnten. Im vierten Kapitel werden die harmonischen Räume (X,H) der Laplace- und Wärmeleitungsgleichung als grundlegende Beispiele betrachtet. Im fünften Kapitel wird die Vollständigkeit gewisser Teilmengen des Raumes (BMO(X)/R) untersucht. In Theorem 5.1.10 wird durch Modifikation der Norm gezeigt, daß dieser so modifizierte Raum ein Banachraum ist, allerdings zu dem Preis, daß sämtliche Funktionen in diesem Raum beschränkt sind. Aus Theorem 5.2.4 ergibt sich als Korollar 5.2.6 ein neuer Beweis der Tatsache, daß im Spezialfall Brelotscher harmonischer Räume der Raum (BMO(X)/R) ein Banachraum ist. Schließlich zeigt Theorem 5.2.12, daß gewisse Teilmengen von (BMO(X)/R) vollständig bezüglich der BMO-Norm sind, ohne daß man dabei zusätzliche Bedingungen (wie etwa Brelotscher Raum) an (X,H) stellen muß.
Für balancierte, irreduzible Pólya-Urnen-Modelle sind Grenzwertsätze für die normalisierte Anzahl von Kugeln einer Farbe bekannt. Für eine spezielle Urne, deren Dynamik mit "Randomised-Play-the-Winner Rule" bezeichnet wird, werden im Rahmen der bekannten Grenzwertsätze Konvergenzraten in Wasserstein-Metriken und in der Kolmogorov-Metrik im Falle eines nicht-normalverteilten Grenzwerts hergeleitet.
Finanzderivate gelten als obskur, verwickelt und riskant. Und das nicht zu Unrecht, wie die aktuelle Krise der globalen Finanzmärkte zeigt. Um Finanzderivate richtig bewerten zu können, bedarf es ausgefeilter Methoden der Finanzmathematik. Ausgelöst durch den explosionsartigen Anstieg des Derivatehandels hat sich die Mathematik zu einer Schlüsseltechnologie auf modernen Finanzmärkten entwickelt. Sie stellt den Finanzakteuren das mathematische Werkzeug für ihr Risikomanagement zur Verfügung.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Ermittlung des Preises von Optionen. Optionen sind spezielle Derivate, die wiederum Hull in seinem Buch definiert als: Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert von einem anderen, einfacheren zu Grunde liegenden Finanzinstrument (underlying) abhängt . Ein underlying kann unter anderem auch eine Anleihe, eine Aktie oder der Umtauschkurs zweier Währungen sein....
Der Hoppe-Baum ist eine zufällig wachsende, diskrete Baumstuktur, wobei die stochastische Dynamik durch die Entwicklung der Hoppe Urne wie folgt gegeben ist: Die ausgezeichnete Kugel mit der die Hoppe Urne startet entspricht der Wurzel des Hoppe Baumes. In der Hoppe Urne wird diese Kugel mit Wahrscheinlichkeit proportional zu einem Parameter theta>0 gezogen, alle anderen Kugeln werden mit Wahrscheinlichkeit proportional zu 1 gezogen. Wann immer eine Kugel gezogen wird, wird sie zusammen mit einer neuen Kugel in die Urne zurückgelegt, was in unserem Baum dem Einfügen eines neuen Kindes an den gezogenen Knoten entspricht. Im Spezialfall theta=1 erhält man einen zufälligen rekursiven Baum.
In der Arbeit werden Erwartungswerte, Varianzen und Grenzwertsätze für Tiefe, Höhe, Pfadlänge und die Anzahl der Blätter gegeben.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Gruppen von quasi-Automorphismen von Graphen, genauer gesagt, von gefärbten Graphen. Ein gefärbter Graph ist ein Graph, dessen Kantenmenge in eine disjunkte Vereinigung von Mengen von Kanten einer bestimmten Farbe zerlegt ist. Ein Automorphismus eines solchen Graphen muss insbesondere die Farben der Kanten respektieren. Ein quasi-Automorphismus eines solchen Graphen ist eine Bijektion der Eckenmenge auf sich selbst, die nur endlich oft die Autmomorphismeneigenschaft verletzt, d.h. nur endlich viele Kanten nicht respektiert und nur endlich viele Kanten neu entstehen läßt. Die Menge der quasi-Automorphismen eines Graphen bildet eine Untergruppe in der Gruppe der Permutationen der Eckenmenge. Eine Auswahl interessanter Beispiele solcher Gruppen und manche ihrer Eigenschaften sind neben einigen grundsätzlichen Überlegungen Thema dieser Arbeit. Die erste Klasse von Graphen, die wir untersuchen, sind Cayley-Graphen (endlich erzeugter) Gruppen. Dabei werden wir zeigen, dass die quasi-Automorphismengruppe eines Cayley-Graphen nicht von dem (endlichen) Erzeugendensystem abhängt. Wir werden zeigen, dass für eine einendige Gruppe $G$ die quasi-Automorphismengruppe des Cayley-Graphen stets als semidirektes Produkt der finitären Permutationen von $G$ und der Gruppe $G$ selbst zerfällt. In der Klasse der mehrendigen Gruppen gibt es genau $2$ Gruppen für die das ebenfalls gilt, nämlich die Gruppe der ganzen Zahlen ...Z und die unendliche Diedergruppe $D_infty$. In allen anderen Gruppen ist das oben erwähnte semidirekte Produkt stets eine echte Untergruppe. Trotzdem werden wir im Ausblick eine Konstruktion angeben, die für eine gegebene Gruppe $G$ einen Graphen $Gamma$ liefert, dessen quasi-Automorphismengruppe als semidirektes Produkt von $S_Gamma$ -- so bezeichnen wir die Gruppe der finitären Permutationen der Ecken von $Gamma$ -- und $G$ zerfällt. Des Weiteren werden wir die quasi-Automorphismengruppe des ebenen binären Wurzelbaumes betrachten. Wir werden zeigen, dass diese eine Erweiterung von (Richard) Thompsons Gruppe VV durch die Gruppe der finitären Permutationen ist, eine Präsentierung entwickeln und die Endlichkeitseigenschaften dieser Gruppe und einiger Untergruppen beleuchten. Insbesondere werden wir einen Zellkomplex konstruieren, auf dem die Gruppe der quasi-ordnungserhaltenden quasi-Automorphismen, welche das Urbild der Untergruppe FF von VV unter der kanonischen Projektion ist, mit endlichen Stabilisatoren operiert. Diese Operation erfüllt dabei die Bedingungen, die nötig sind, um mit Hilfe von Browns Kriterium nachzuweisen, dass die Gruppe vom Typ FPunendlich ist. Das co-Wort-Problem einer Gruppe $G$ bezüglich eines unter Inversion abgeschlossenen Erzeugendensystems $X$ ist die Sprache aller Worte aus dem freien Monoid $X^*$, die unter der kanonischen Projektion auf ein Element ungleich der Identität in $G$ abgebildet werden. Wir werden zeigen, dass das co-Wort-Problem der quasi-Automorphismengruppe des ebenen binären Wurzelbaumes eine kontext-freie Sprache bildet. Sei $mathop{coCF}$ die Klasse der Gruppen mit kontextfreiem co-Wort-Problem. Diese Klasse ist abgeschlossen bezüglich Untergruppenbildung und alle Gruppen, deren Zugehörigkeit zu $mathop{coCF}$ bisher nachgewiesen wurde, sind Unterguppen der quasi-Automorphismengruppe des ebenen binären Wurzelbaumes. Die $n$-strahligen Houghton-Gruppen erweisen sich als quasi-Automorphismengruppen von Sterngraphen, d.h. von Graphen, die disjunkte Vereinigungen von $n$ Strahlen verschiedener Farben sind. Wir werden uns mit geometrischen Phänomenen der Cayley-Graphen dieser Gruppen beschäftigen. Insbesondere werden wir nachweisen, dass die $2$-strahlige Houghton-Gruppe Houn[2] beliebig tiefe Sackgassen besitzt. Eine Sackgasse der Tiefe $k$ in einem Cayley-Graphen ist ein Element, dessen Abstand zur Identität mindestens so groß ist, wie der Abstand zur Identität aller Elemente im $k$-Ball um das Element. Sogar in einem stärkeren Sinne, der in dieser Arbeit definiert wird, ist die Tiefe der Sackgassen unbeschränkt. Um dies und verwandte Fragen besser behandlen zu können, entwickeln wir Modelle, die eine Beschreibung der Cayley-Graphen von Houn[n] ermöglichen. Im abschließenden Ausblick thematisieren wir einige Ansätze, in denen wir interessante Anwendungen von quasi-Automorphismengruppen sehen.
Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten, BacDas Gebiet der Optionsbewertung ist durch die Entwicklungen zu neuen und immer komplexer werdenden Optionstypen und durch Verbesserungen im Bereich der Aktienkurs-Modelle geprägt. Diese Entwicklung und die gestiegene Leistungsfähigkeit der Parallelrechner haben das Interesse an den flexiblen Quasi-Monte-Carlo-Verfahren neu geweckt.
Die experimentellen Untersuchungen bestätigen die Überlegenheit des Quasi-Monte-Carlo-Verfahren gegenüber den klassische Monte-Carlo-Verfahren in Bezug auf niedrigdimensionale Optionstypen. Dieser Überlegenheit nimmt aber mit zunehmender Dimension ab, was eine Nachteil für das Quasi-Monte-Carlo Verfahren darstellt. Zur Verbesserung des Verfahrens gibt das Dimensions-Reduktions-Prinzip (effective dimension) und weitere Niederdiskrepanz-Folgen, wie Niederreiter-Folgen, Lattice-Regeln, usw. Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten auch durch Wahl von anderen Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung, wie z.B dem Milstein-Verfahren, erreicht werden. Mit dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren lässen sich auch komplizierte Optionen bewerten,
wie z.B. Bermuda-Optionen, Barrier-Optionen, Cap-Optionen, Shout-Optionen, Lokkback-Optionen, Multi-Asset-Optionen, Outperformance-Optionen, und auch mit weiteren Bewertungs-Modellen kombinieren, wie z.B. dem Black-Scholes-Modell mit variabler Verzinsung, Black-Scholes-Modell mit zeitabhängiger Volatilität, Heston-Modell für stochastische Volatilität, Merton-Sprung-Diffusion-Modell und dem Libor-Markt Modell für Zinsderivate, auf die ich in dieser Bachelorarbeit nicht mehr eingehen werde, mit denen ich mich jedoch in der Masterarbeit genauer beschäftigen werde.
Eine Billion ist mathematisch leicht darstellbar. Es ist eine Eins mit 12 Nullen: 1 000 000 000 000, mathematisch kurz und prägnant als 10^12 geschrieben. Aber darstellbar heißt nicht unbedingt vorstellbar. Versuchen wir, diese Anzahlen zu veranschaulichen, entstehen teilweise surreale, aber einprägsame Bilder.
Euklidische Zerlegungen nicht-kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten mit endlichem Volumen
(1998)
Epstein and Penner constructed in [EP88] the Euclidean decomposition of a non-compact hyperbolic n-manifold of finite volume for a choice of cusps, n >= 2. The manifold is cut along geodesic hyperplanes into hyperbolic ideal convex polyhedra. The intersection of the cusps with the Euclidean decomposition determined by them turns out to be rather simple as stated in Theorem 2.2. A dual decomposition resulting from the expansion of the cusps was already mentioned in [EP88]. These two dual hyperbolic decompositions of the manifold induce two dual decompositions in the Euclidean structure of the cusp sections. This observation leads in Theorems 5.1 and 5.2 to easily computable, necessary conditions for an arbitrary ideal polyhedral decomposition of the manifold to be a Euclidean decomposition.
Das Vertrauen vieler Menschen in ihre mathematischen und musikalischen Fähigkeiten ist oftmals sehr niedrig ausgeprägt oder wenig ausdifferenziert. Sie glauben, dass sie in dem einen oder anderen Fach (oder beiden) nicht gut seien. Hinzukommt, dass die Aussage „Ich kann nicht singen“ oder „Mathematik habe ich noch nie verstanden“ durchaus gesellschaftsfähig ist und sie nicht daran hindern muss, eine erfolgreiche Karriere zu durchlaufen, noch wird es die Meinung anderer über sie ändern.
Das Projekt „European Music Portfolio – Sounding Ways into Mathematics“ (EMP-Maths) möchte dieses Verständnis ändern. Jeder kann singen und Musik machen und jeder kann Mathematik treiben. Beide Themen sind integraler Bestandteil unseres Lebens und unserer Gesellschaft. Was geändert werden muss, ist das Bild von diesen beiden Fächern und die Fähigkeit von Lehrpersonen, Lernenden die Gelegenheit zu geben, dieses zu verändern und die beiden Fächer als bereichernd für die Lebensgestaltung einzustufen.
Beispielhaft wird im Arbeitsbuch eine Aktivität vorgestellt, in welcher Mathematik und Musik in einer Unterrichtssequenz miteinander verbunden werden. Weitere Aktivitäten, die in der Schule genutzt werden können, finden sich im Handbuch für Lehrerinnen und Lehrer. Viele weitere Beispiele und Vorschläge sind bereits vorhanden (siehe Web-Seite des Projekts) und wir möchten jeden ermutigen, sie zu nutzen. Die Auswahl im Handbuch deckt einige zentralen Felder der Mathematik und der Musik ab: Singen, Tanzen, Hören, Probleme lösen, Zahlen, Messen, Raum und Form. Mit diesem Ansatz wollen wir das Projekt an die Kerncurricula der beteiligten Länder anbinden: Deutschland, Griechenland, Rumänien, Slowakei, Spanien, Schweiz und Großbritannien. Die Dokumentation der Beispiele erfolgt in einer Art von Didaktischen Design Patterns, deren Struktur an die Anforderungen des Projekts angepasst wurde.
Das Projekt „Sounding Ways into Mathematics“ stellt Aktivitäten mit unterschiedlichen mathematischen und musikalischen Inhalten vor, um Lehrpersonen ein möglichst breites Spektrum an Hilfsmitteln, Ideen und Beispielen anbieten zu können. Diese Aktivitäten sind so aufgebaut, dass sie erweiter- und anpassbar an unterschiedliche Kontexte sowie auf die Bedürfnisse einer jeden Lehrperson und deren Schülerinnen und Schülern sind. Ferner wurden diese Aktivitäten nicht nur entwickelt, um von der Lehrperson instruktiv ausgeführt zu werden, sondern, um sie gemeinsam mit der Lerngruppe zu nutzen und eventuell sogar gemeinsam zu verändern und weiter zu entwickeln.
Das Projekt „Sounding Ways into Mathematics“ steht in Verbindung zum EMP-Sprachen Projekt „A creative Way into Languages“ (http://emportfolio.eu/emp/).
Diese Arbeit befasst sich mit der Zerlegung von Irrfahrten und Lévy Prozessen an ihrem Minimum. Bis auf rudimentäre Vorkenntnisse der höheren Stochastik und einige wenige aber wichtige Sätze stellt die Arbeit alle notwendigen Begriffe und Sätze zur Verfügung, die für das Verständnis und die Beweise benötigt werden. Diese bewusste Entscheidung zur Ausführlichkeit auch bei grundlegenden Dingen hat zwei Hintergründe: Zum einen bleibt die Arbeit damit auch für Leser mit geringen Vorkenntnissen interessant, und zum anderen entsteht so keine lange und unübersichtliche Kette von Verweisen und Zitaten, die das Verständnis des dargestellten Themas erschwert und die logischen Schlüsse nur noch von Spezialisten vollständig nachvollzogen werden können. Ein weiterer Nebeneffekt ist die Tatsache, dass Verwirrungen aufgrund unterschiedlicher Interpretationen eines Begriffs vermieden werden. Das weitere Vorwort teilt sich in zwei Abschnitte; zum einen in den Abschnitt der Irrfahrten und zum anderen in den Abschnitt der Lévy-Prozesse. Diese Einteilung spiegelt auch die Strukturierung der Arbeit selber wieder; ein Blick in das Inhaltsverzeichnis verrät, dass zuerst Irrfahrten und danach Lévy Prozesse behandelt werden.
Es steht außer Zweifel, daß digitale Signaturen schon bald zu unserem Alltag gehören wer- den. Spätestens mit dem Inkrafttreten des Gesetzes zur digitalen Signatur (siehe [BMB]) sind sie zu einem wichtigen Instrument in der Telekommunikation geworden. Dabei kommt der Verwendung von Chipkarten eine wichtige Bedeutung zu: In ihnen lassen sich die sensiblen Daten (z.B. der geheime Schlüssel) auslesesicher aufbewahren; gleichzeitig können sie bequem mitgeführt werden. Aus diesen Gründen erlebt die Verwendung von Chipkarten zur Erzeugung von digitalen Signaturen zur Zeit einen enormen Aufschwung. Problematisch ist jedoch der oft unverhältnismäßig große Berechnungsaufwand für die Erzeugung von digitalen Signaturen. Ziel dieser Arbeit ist es, Methoden zu entwickeln und/oder zu untersuchen, welche die Berechnung digitaler Unterschriften wesentlich beschleunigen. Dabei spiegelt sich die Zweiteilung der in der Praxis hauptsächlich verwendeten Typen von Signaturverfahren in der Struktur der Arbeit wider. Der erste Teil dieser Arbeit untersucht Verfahren zur effizienten Berechnung von RSA-Unterschriften. Dabei entstanden die Untersuchungen in den Abschnitten 3.2.3 und 3.2.4 in Zusammenarbeit mit R. Werchner und der Inhalt der Abschnitte 3.1 - 3.2.4 ist bereits in [MW98] veröffentlicht. Im zweiten Teil entwickeln wir Verfahren zur effizienteren Generierung von Unterschriften, die auf dem diskreten Logarithmus basieren, und untersuchen deren Sicherheit. Dabei entstanden die Untersuchungen in den Abschnitten 4.2 (bis auf 4.2.2) und 4.3.1 in Zusammenarbeit mit C. P. Schnorr und sind teilweise in [MS98] zusammengefaßt. Obwohl diese Arbeit eine mathematische Abhandlung darstellt, versuchen wir, die praktische Anwendung nicht aus den Augen zu verlieren. So orientieren sich die betrachteten Verfahren stets an den durch die verfügbare Technologie gegebenen Rahmenbedingungen. Darüber hinaus richten wir unser Augenmerk weniger auf das asymptotische Verhalten der betrachteten Verfahren, als vielmehr auf konkrete, für die Anwendung relevante Beispiele.
Ziel dieser Arbeit war es, ein sicheres und trotzdem effizientes Preprocessing zu finden. Nach den zurückliegenden Untersuchungen können wir annehmen, dies erreicht zu haben. Wir haben gezeigt, daß eine minimale Workload von Attacken von 272 mit nur 16 Multiplikationen pro Runde und 13 gespeicherten Paaren (ri, xi) erreicht werden kann. Mit der in Abschnitt 12.3 erklärten Variation - der Wert rº k geht nicht in die Gleichungen mit ein - erreichen wir sogar eine Sicherheit von 274. In diesem Fall können wir die Anzahl der gespeicherten Paare auf 12 verringern. Auch von der in Abschnit 12.5 besprochenen Variation erwarten wir eine Erhöhung der Sicherheit. Ergebnisse dazu werden bald vorliegen. Folgender Preprocessing Algorithmus erscheint z.B. nach unserem derzeitigen Wissensstand geeignet: Setze k = 12, l0 = 7, l1 = 3, d0 = 4, d1 = 5, h = 4, ¯h = 1. Initiation: lade k Paare (r0 0, x00 ) . . . , (r0 k 1, x0 k 1) mit x0i = ®r0 i mod p. º := 1. º ist die Rundennummer 1. Wähle l1 2 verschiedene Zufallszahlen a(3, º), . . . , a(l1, º) 2 {º + 1 mod k, . . . , º 2 mod k} a(1, º) := º mod k, a(2, º) := º 1 mod k W¨ahle l1 2 verschiedene Zufallszahlen f(3, º), . . . , f(l1, º) 2 {0, . . . , d1 1}, f(1, º) zuf¨allig aus {h, . . . , d1 1} und f(2, º) zuf¨allig aus {¯h, . . . , d1 1} rº k := rº ºmodk + l1 Xi=1 2f(i,º)rº 1 a(i,º) mod q xk = xºº modk · l1 Yi=1 (xº 1 a(i,º))2f(i,º) mod p 2. w¨ahle l0 1 verschiedene Zufallszahlen b(2, º), . . . , b(l0, º) 2 {º + 1 mod k, . . . , º 1 mod k} b(1, º) := º mod k W¨ahle l0 verschiedene Zufallszahlen g(1, º), . . . , g(l0, º) 2 {0, . . . , d0 1} rº ºmodk := l0 Xi=1 2g(i,º)rº 1 b(i,º) mod q xºº modk = l0 Yi=1 (xº 1 b(i,º))2g(i,º) mod p 3. verwende (rº k, xº k) f¨ur die º te Signatur (eº, yº) gem¨aß yº = rº k + seº mod q 4. º := º + 1 GOTO 1. f¨ur die n¨achste Signatur Die Zufallszahlen a(3, º), . . . , a(l, º), b(2, º), . . . , b(l, º), f(1, º), . . . , f(l, º) und g(1, º), . . . , g(l, º) werden unabhängig gewählt. Dies ist selbstverständlich nur ein Beispiel. Unsere Untersuchungen sind noch nicht abgeschlossen. Wir glauben aber nicht, daß feste Werte a(i, º) und b(i, º) ein effizientes Preprocessing definieren. Wir haben einige Variationen mit solchen weniger randomisierten Gleichungen studiert und immer effiziente Attacken gefunden.
Der Bolthausen-Sznitman Koaleszent ist ein zeitstetiger Markovprozess mit Werten in der Menge der Partitionen der natürlichen Zahlen. Der Prozess startet in Singletons und seine Dynamik erlaubt lediglich Übergänge in gröbere Partitionen. In dieser Arbeit wird der Bolthausen-Sznitman Koaleszent zum Zeitpunkt seines letzten Übergangs analysiert. Das Hauptresultat ist ein Grenzwertsatz, welcher eine gemeinsame Aussage sowohl über die Blockanzahl als auch über die Blockgrößen des Koaleszenten zu diesem Zeitpunkt macht. Dafür wird der Koaleszent durch ein gewisses Abholzverfahren zufälliger rekursiver Bäume modelliert, wobei diese Bäume wiederum anhand von Yule-Prozessen generiert werden.
Das Assignment Problem ist ein bekanntes kombinatorisches Optimierungsproblem, bei dem es darum geht, in einem gewichteten bipartiten Graphen ein Matching mit minimalem Gewicht zu finden. In dieser Arbeit sind die Kantengewichte exponentialverteilt zu speziell gewählten Raten. Damit sind Erwartungswert und Varianz des minimalen Gewichts von besonderem Interesse. Zunächst wird ein Beweis der Parisi Formel und der Coppersmith-Sorkin Formel erläutert. Die Formeln beschreiben den Erwartungswert des minimalen Gewichts im Fall, dass die Raten alle dem Wert 1 entsprechen. Im zweiten Teil wird die Herleitung einer expliziten Formel zur Berechnung der Varianz des zufälligen minimalen Gewichts erklärt, wobei die Raten immer noch mit 1 übereinstimmen. Gleichzeitig wird eine Formel für die höheren Momente geliefert, aus der die Parisi Formel und Coppersmith-Sorkin Formel aus dem ersten Teil folgen und die sogar das bisherige Modell bezüglich der Parameter erweitert. Schließlich kann man das Ergebnis des zweiten Teils zur Beschreibung des asymptotischen Verhaltens der Varianz benutzen.
Die anaerobe Fermentation beschreibt den Abbau organischen Materials unter Ausschluss von Sauerstoff und setzt sich aus vier Prozessphasen (Hydrolyse, Acidogenese, Acetogenese und Methanogenese) zusammen. Im Rahmen dieser Arbeit konnte die Aufteilung dieser vier Prozessphasen auf die beiden Stufen eines zweistufigen zweiphasigen Biogas-Reaktors genau bestimmt werden. Die Aufteilung ist von entscheidender Bedeutung für zukünftige Arbeiten, da dadurch genau festgelegt werden kann, welche Stoffe bei den Messungen und bei der Modellierung berücksichtigt werden müssen.
Im Jahre 2002 wurde von der IWA Taskgroup das ADM1-Modell, welches alle vier Prozessphasen der anaeroben Fermentation berücksichtigt, veröffentlicht. In der vorliegenden Arbeit wird ein räumlich aufgelöstes Modell für die anaerobe Fermentation erarbeitet, in dem das ADM1-Modell mit einem Strömungsmodell gekoppelt wird. Anschließend wird ein reduziertes Simulationsmodell für acetoklastische Methanogenese in einem zweistufigen zweiphasigen Biogasreaktor erstellt. Anhand von Messdaten wird gezeigt, dass der Abbau von Essigsäure zu Methan innerhalb des Reaktors durch das Simulationsmodell gut wiedergegeben werden kann.
Anschließend wird das validierte Modell verwendet um Regeln für eine optimale Steuerung des Reaktors herzuleiten und weiterhin wird mit Hilfe der lokalen Methanproduktion die Effektivität des Reaktors bestimmt. Die erlangten Informationen können verwendet werden, um den Biogas-Reaktor zu optimieren.
Wir werden uns in dieser Arbeit vorwiegend mit einem Modell befassen, das Y. Peres, C. Kenyon, W. Evans und L.J. Schulman 1998 in ihrem Artikel \Broadcasting on trees and the Ising-Modell" eingeführt haben.
In diesem Modell wird ein Signal, das die Werte +1 oder -1 annehmen kann, von der Wurzel eines Baumes aus entlang der Äste eines unendlichgroßen Baumes übertragen. Die Kanten des Baumes agieren dabei als Übertragungskanäle zwischen den Knoten. Jede Kante kann das Signal korrekt übertragen oder es flippen, das heißt, das Vorzeichen des Signals umkehren.
Das Übertragungsverhalten der Kanten ist zufällig. Mit einer festen Wahrscheinlichkeit ϵ, mit 0 < ϵ <= 1/2 , verfälscht eine Kante das Signal. Dies geschieht an allen Kanten unabhängig mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Es stellt sich nun die Frage, wie groß diese Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens sein darf, damit das, was in der Krone des Baumes ankommt, noch etwas zu tun hat mit dem, was in der Wurzel eingespeist wird. Mit anderen Worte: Sind die Signale auf Knoten, die einen Abstand >= n von der Wurzel haben, für n -> ∞ asymptotisch unabhängig vom Signal in der Wurzel? Eine Möglichkeit, den Grad der Abhängigkeit zu messen, ist die sogenannte Information, der Kullback-Leibler-Abstand von gemeinsamer Verteilung zur Produkt-Verteilung, die in Definition 16 eingeführt wird.
Wir werden sehen, daß es eine kritische Schwelle ϵc;I für Informationsübertragung gibt. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit größer als ϵc;I , so ist die Information, die zwischen Wurzel und Krone übertragen wird, 0. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als ϵc;I , so wird Information übertragen. Dieser kritische Wert ϵc;I hängt nur von der Branching-Number, einer Art mittleren Verzweigungszahl, des Baumes (vgl. Definition 1) ab.
Wir werden sehen, daß das Broadcasting-Modell eine elegante Formulierung eines wohlbekannten Modells, des Ising-Modells, mit freien Randbedingungen, ist.
Im Ising-Modell hat jeder Knoten des Baumes einen "magnetischen" Spin, der entweder +1 oder -1 sein kann. Spins direkt benachbarter Knoten beeinflussen sich, in dem sie versuchen, den gleichen Wert anzunehmen. Diesem Effekt wirkt ein thermischer Einfluß entgegen, der mittels eines als Temperatur bezeichneten Parameters modelliert wird.
Die klassische Frage im Ising-Modell ist, ob Phasenübergang stattfindet. Wir wollen Phasenübergang als das Phänomen verstehen, daß die Wurzel des Baumes die Vorgabe von Randbedingungen auf der Krone des Baumes spürt. Ist dies der Fall, so sagen wir, daß Phasenübergang stattfindet. Auch dies ist eine
Form der gegenseitigen Beeinflussung zwischen Wurzel und Krone des Baumes. Russel Lyons hat 1989 in seinem Artikel \The Ising-Model on trees and treelike Graphs" das Ising-Modell auf Bäumen untersucht und gezeigt, daß es eine kritische Temperatur tc für Phasenübergang gibt. Ist die Temperatur höher als tc, so spürt die Wurzel nichts von den Randbedingungen der Krone; ist die Temperatur geringer als tc, so haben die Randbedingungen Einfluß auf die Wurzel. Auch hier hängt die kritische Temperatur nur von der Branching-Number des Baumes ab.
In der Broadcasting-Formulierung des Modells ist der Fluß von Information ein naheliegendes Werkzeug, um die Beeinflussung von Wurzel und Krone zu messen, in der Ising-Formulierung ist die Existenz von Phasenübergang ein ebenso naheliegendes Werkzeug, ebendiesen Einfluß zu messen.
Wir werden die beiden Arten der Beeinflussung miteinander vergleichen und können zeigen, daß für die Übertragung von Information stets eine stärkere Interaktion zwischen den Knoten notwendig ist, als für den Einfluß der Randbedingungen aus der Krone.
Als letztes Phänomen werden wir untersuchen, ob es einen Pfad im Baum gibt, der in der Wurzel startend nur Knoten gleichen Spins besucht und die unendlich weit entfernte Krone erreicht. Wir bezeichnen dieses Phänomen als Spinperkolation.
Wir werden die Berechnung der kritischen Interaktion für Spinperkolation in einem Bernoulli-Feld auf den Kanten rekapitulieren und dann zeigen, daß die Existenz eines Perkolationspfades nur von der Interaktionsstärke des Modells und nicht von etwaigen Randbedingungen abhängt. Dabei kombinieren wir Ergebnisse aus zwei Arbeiten von Lyons und die Erkenntnis, daß Broadcasting- Modell und freies Ising-Modell identisch sind. Wir erhalten so einen neuen, einfachen Beweis über die kritische Interaktion für Spinperkolation in der Plus-Phase des Ising-Modells, die Lyons bereits in [7] berechnet hat.
Im Rahmen dieser Arbeit möchte ich nun aufzeigen, dass ein Projekt zu Glücksspielen eine „reichhaltige Lernsituation“ darstellen kann, in der die Schüler Raum, Gelegenheit und Anlass haben, Grunderfahrungen mit zufälligen Vorgängen zu machen, darauf aufbauend wichtige Begriffe zu bilden und schließlich wesentliche stochastische Zusammenhänge zu erkennen. Der Projektmethode entsprechend lag ein Großteil meiner Tätigkeiten im Vorfeld in vorbereitenden und planenden Tätigkeiten. Während der Projektdurchführung trat ich als beratender „Hintergrundlehrer“ auf. Die Schüler arbeiteten weitgehend selbstständig. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher auf meinen didaktischen und methodischen Überlegungen zur Vorbereitung des Projekts.
Über die Anzahlfunktion π(x)
(1999)
Bereits Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Euler zeigte die qualitative Aussage ¼(x) x ! 0 bei x ! 1. Legendre definierte als erster die Anzahlfunktion ¼(x) als die Anzahl aller Primzahlen · x, (x 2 R) und vermutete irrtümlicherweise, dass ¼(x) = x log(x)¡B; wobei lim x!1 B(x) = 1; 083 66 : : : ist. Gauss vermutete, dass die Funktionen ¼(x) und li(x) := lim "!0 ">0 0@ u=1¡" Z u=0 du log(u) + u=x Z u=1+" du log(u)1A asymptotisch Äquivalent sind. Tschebyschew konnte die Legendresche Vermutung widerlegen; außerdem bewies er: Wenn der Grenzwert lim x!1 ¼(x) x log(x) existiert, so muss dieser gleich 1 sein. Dank wegweisender Vorarbeiten von Riemann, gelang es im Jahr 1896 unabhängig voneinander und nahezu zeitgleich Hadamard und De La Vallee Poussin, den Primzahlsatz analytisch zu beweisen. Beide verwendeten entscheidend die Tatsache, dass die Zetafunktion ³ in der Halbebene Re(s) ¸ 1 nicht verschwindet. Die Beweise waren zuerst so lang und kompliziert, dass sie heutzutage nur noch einen historischen Wert besitzen. Es dauerte weitere 84 Jahre bis der Beweis so vereinfacht werden konnte, dass er nur wenige Seiten in Anspruch nimmt. Ein wichtiger Verdienst kommt hierbei der Arbeit von Newman aus dem Jahre 1980 zu. Lange Zeit wurde es für kaum möglich gehalten, einen Beweis des Primzahlsatzes zu finden, der ohne eine gewisse Kenntnis der komplexen Nullstellen der Zetafunktion auskommt. Und doch glückte 1948 ein solcher Beweis durch Selberg und Erdös mit elementaren Mitteln. Erwähnenswert dabei, dass der Beweis noch lange nicht einfach ist. Uns schienen die analytischen Beweise durchsichtiger zu sein. Daher haben wir in dieser Arbeit auf einen elementaren Beweis verzichtet. Der analytischen Weg zum Primzahlsatz von Newman kommt einerseits mit Integration längs endlicher Wege (und der Tatsache ³(s) 6= 0 in ¾ ¸ 1) aus, umgeht also Abschätzungen bei 1; andererseits ist er frei von Sätzen der Fourier-Analysis. Beim Beweis des Primzahlsatzes von Wolke benutzt man anstelle von ³0(s) ³(s) die Funktion ³ 1 k mit großen k. Wegen des Pols bei s=1 bringt dies bei der Integration leichte Komplikationen, hat aber den Vorteil, dass außer der Nullstellen-Freiheit keine nichttriviale Abschätzung für ³ oder ³0 erforderlich ist. Dank der elementaren Äquivalenz zwischen dem Primzahlsatz und der Konvergenz von 1Pn=1 ¹(n) n brauchte Newman nur die Konvergenz von 1Pn=1 ¹(n) n zu zeigen. Dies erreichte er mit Hilfe seines Konvergenzsatzes. Die Legendresche Formel, die auf dem Sieb des Eratosthenes basiert, erlaubt die exakte Berechnung von ¼(x), wenn alle px nicht übersteigenden Primzahlen bekannt sind. Diese prinzipielle Möglichkeit zur Ermittlung von ¼(x) ist in der Praxis natürlich stark limitiert durch die mit x rasch anwachsende Anzahl der rechts in der Legendresche Formel zu berücksichtigenden Summanden. Mit verfeinerten Siebtechniken haben verschiedene Autoren zur Legendresche Formel analoge Formeln ¼(x) ersonnen, bei denen der genannte Nachteil von Legendresche Formel sukzessive reduziert wurde. Zu erwähnen sind hier vor allem Meissel, Lehmer, sowie Lagarias, Miller und Odlyzko. Aus den Graphen von R(x)¡¼(x); li(x)¡¼(x) und x log(x) ¡¼(x) für den betrachteten Bereich x · 1018 konnten wir feststellen, dass R(x); li(x) sowie x log(x) die Anzahlfunktion Pi (x) annähern, wobei R(x) die beste Approximation für Pi(x) von allen drei ist.
Eine nichtgeometrische Konstruktion der Spektren P(n) und multiplikative Automorphismen von K(n)
(1995)
In dieser Arbeit werden Darstellungen der Artinschen Zopfgruppen als Gruppen von Automorphismen der Homologie iterativ konstruierter äquivarianter Kettenkomplexe betrachtet. Es werden azyklische Komplexe freier Moduln bzw. freie Auflösungen der ganzen Zahlen für nichtpermutierte Artinsche Zopfgruppen konstruiert, die als iterierte semidirekte Produkte freier Gruppen darstellbar sind. Als Tensorprodukte der freien Auflösungen mit Moduln zu den fraglichen iterierten semidirekten Produkten freier Gruppen erhält man äquivariante Komplexe, deren von Eigenschaften der Koeffizientenmoduln abhängige Homologiegruppen bestimmt werden. Diese Homologiegruppen erlauben Automorphismendarstellungen der (permutierten) Artinschen Zopfgruppe, die gewissermaßen die Artinschen Darstellungen als Automorphismengruppen freier Gruppen iterieren und linearisieren. Insbesondere werden Darstellungen gewonnen, die die bekannten Burau- und Gassner-Darstellungen der Zopfgruppen verallgemeinern und die als Monodromiegruppen verallgemeinerter hypergeometrischer Integrale interpretiert werden können.
Sprung-Diffusions-Modelle zur Bewertung Europäischer Optionen, BacIn dieser Arbeit wurden die Europäische Optionen in den Sprung-Diffusions-Modellen von Merton und dem Modell von Kou bewertet. So stellen die geschlossenen Lösungen für das Merton-Modell als Anwendung der Black-Scholes-Formel eine einfache Möglichkeit zur Berechnung eines Optionspreises dar. Die Verwendung einer analytischen Lösung für Merton ist allerdings nur eingeschränkt, d.h. für zwei spezielle Sprungverteilungsfunktionen (Plötzlicher Ruin und die Lognormalverteilung) möglich. Das Kou-Modell hingegen, hat eine geschlossene Lösung für Doppel-Exponentialverteilte Sprünge. Eine flexible Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung eines Optionspreises ist die Verwendung des Monte-Carlo-Verfahrens für die Simulation der Kursbewegung mit zugrunde liegendem Sprung-Diffusions-Modell. In diesem Fall ist das Monte-Carlo-Verfahren zur Ermittlung des Optionspreises nur einmal anzuwenden. Dieses Verfahren konvergiert mit einer Konvergenzrate von 1/2.
Wie alle anderen Modelle, die auf Lévy Prozessen basieren, lässt das Kou-Modell eine empirische Beobachtung vermissen, nämlich die mögliche Abhängigkeit zwischen Renditen der Underlyings (der sogenannte "volatility clustering affect"), weil das Modell unabhängige Inkremente unterstellt. Eine Möglichkeit die Abhängigkeit mit einzubeziehen, wäre die Nutzung anderer Punktprozesse Ñ(t) mit abhängigen Inkrementen anstelle des Poisson-Prozesses N(t). Es muss natürlich die Unabhängikeit zwischen der Brownschen Bewegung, den Sprunghöhen und ~N(t) beibehalten werden. Das so modifizierte Modell hat keine unabhängigen Inkremente mehr, ist aber einfach die geschlossene Lösungsformel für Call- und Put-Optionen zu erhalten. Andererseits scheint es schwer analytische Lösungen für Pfadabhängige Optionen durch Nutzung von Ñ(t) anstelle von N(t) zu erhalten.
Computer haben im Mathematik-Unterricht bisher vor allem die Funktion, Abstraktes bildlich zu veranschaulichen. Neu sind interaktive Programme, mit denen Schüler experimentieren und spielerisch ein Gefühl für Zusammenhänge entwickeln können. Erste Versuche zeigen, dass dieses Angebot, »Mathematik erfahrbar zu machen«, die Schüler stark motiviert. Computer sind wichtige Mittler zwischen der realen Welt und den Abstraktionen ihrer mathematischen Beschreibung. Denn: Mathematik wohnt den Dingen nicht inne, man sieht sie mit dem »mathematischen Blick« in die Dinge hinein. Erst dadurch gliedert sich der Raum um uns in Punkte, Strecken, Ebenen und all die anderen geometrischen Objekte. Diese Objekte selbst sind nicht real, und materielle Modelle, die wir zu ihrer Veranschaulichung heranziehen, unterliegen Einschränkungen, von denen man abstrahieren muss. Wir zeigen anhand zweier aktueller Entwicklungs- und Forschungsprojekte, wie Computer helfen können, diese Kluft zu überbrücken. ...
Im Zentrum dieser Arbeit steht die Operation der Gruppe Gamma:=SL_n(Z[1/m]) auf dem symmetrischen Raum M:=SL_n(R)/SO(n). Allgemeiner betrachten wir die Operation rho:Gamma->Isom(M) einer S-arithmetischen algebraischen Gruppe durch Isometrien auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Die symmetrischen Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Krümmung und daher insbesondere CAT(0)-Räume. R. Bieri und R. Geoghegan haben für die Operation rho:G->Isom(M) einer abstrakten Gruppe G auf einem CAT(0)-Raum M die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) als Teilmenge des Randes von M eingeführt (vgl. [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003]). Die Fokusierung, die durch die geometrischen Invarianten erreicht wird, hat sich in vielen Fällen bewährt, in denen eine Operation durch Translationen auf dem euklidischen Raum zur Verfügung steht. Über die Invarianten von anderen CAT(0)-Operationen ist noch wenig bekannt. In der vorliegenden Arbeit berechnen wir nun die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) für die oben erwähnte Operation rho der S-arithmetischen Gruppe Gamma auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Wir erhalten für die Gruppe SL_n(Z[1/m]) die folgende Invariante: Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M, falls k kleiner als s(n-1) ist; Sigma^k(rho) ist die Menge aller Randpunkte e von M, die nicht im Rand eines rational definierten flachen Unterraum von M liegen, falls k größer oder gleich s(n-1) ist. Hierbei ist s die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. Die obigen Resultate sind eine Verallgemeinerung derer in [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Controlled Connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. Der Beweis, den wir geben, besteht aus einer Vereinfachung des Beweises von Bieri und Geoghegan, die dann auf die allgemeinere Situation angepasst werden konnte. Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn wir für eine Operation rho auf M die Zahlen k betrachten, für die gilt: (*) Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M. Operiert die Gruppe Gamma mit diskreten Bahnen, dann ist (*) äquivalent zur Eigenschaft, daß die Punktstabilisatoren Gamma_a, für a aus M, vom Typ F_k sind. Die Eigenschaft (*) ist auch von Interesse für S-arithmetische Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe über einem Funktionenkörper. Wir zeigen, daß es hier eine naheliegende Operation rho' auf einem Bruhat-Tits Gebäude M' gibt, so daß Gamma' ein Punktstabilisator und damit die Eigenschaft (*) mit der Eigenschaft "Gamma' ist vom Typ F_k" zusammenfällt. Im Zahlkörperfall sind die Verhältnisse ganz anders. Unsere S-arithmetischen Gruppen operieren auf dem symmetrischen Raum M nicht mit diskreten Bahnen und sind durchwegs vom Typ F_k für alle k. Dagegen erlaubt unser Hauptresultat die Bestimmung der Zahlen k mit der Eigenschaft (*) und zeigt eine interessante Abhängigkeit von s=|S| und dem Rang r der algebraischen Gruppen (rho erfüllt (*) <=> k<rs). Das Hauptresultat wird außerdem nicht nur für SL_n(Q), sondern allgemeiner für Chevalley-Guppen über Q oder Q(i) gezeigt, so daß wir damit für eine Reihe von klassischen CAT(0)-Operationen die Invarianten Sigma^k(rho) bestimmt haben.
Rezension zu: George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagmorgen : 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-353-4 ; 240 Seiten, 26 Euro/38 CHF George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagnachmittag : Weitere 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-225-4 ; 236 Seiten, 26 Euro/38 CHF
Gleichgewichte auf Überschussmärkten : Theorie und Anwendbarkeit auf die Regelenergiezone der RWE
(2003)
Diese Version entspricht im wesentlichen der begutachteten Version bis auf die Kürzung von Satz 3.3.1 um einen für den Rest unbedeutenden Teil. Das Ziel folgender Arbeit ist es, mit einem intuitiven Ansatz eine spezielle Wettbewerbsform zweier interagierender Märkte zu modellieren und anschließend zu analysieren. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse mit den Beobachtungen an einem existierenden Markt - dem deutschen Energiemarkt - verglichen. In dieser behandelten Wettbewerbsform wird ein nicht lagerbares Gut an zwei aneinander gekoppelten Märkten gehandelt. Während Handel und Preisfindung am ersten Markt den üblichen Gepflogenheiten folgen, müssen alle Teilnehmer sämtliche Güter, welche nicht unmittelbar nach Lieferung verbraucht werden, am zweiten Marktplatz (dem Überschussmarkt) gegen ein gewisses Entgelt zur Verfügung stellen. Alle Teilnehmer, welche nicht genügend Güter am ersten Markt geordert haben, werden auf dem Überschussmarkt zu einem gewissen Preis mit der noch benötigten Menge versorgt. Einem Marketmaker auf dem zweiten Marktplatz fällt die Aufgabe zu, einen Preis festzustellen, zu dem diejenigen entschädigt werden, welche ihre Überschüsse zur Verfügung stellen müssen bzw. den diejenigen zu bezahlen haben, deren Gütermangel ausgeglichen wird. Weiterhin stellt dieser sicher, dass zu jedem Zeitpunkt genügend Güter vorhanden sind, so dass der Bedarf aller Teilnehmer zu jedem Zeitpunkt sichergestellt ist. Ziel ist es nun herauszufinden, welche gewinnmaximierenden Einkaufsstrategien die Marktteilnehmer verfolgen sollten und welche Konsequenzen sich daraus auf den deutschen Energiemarkt ableiten lassen.
Ein universeller zentraler Grenzwertsatz für den Abstand zweier Kugeln in zufälligen Splitbäumen
(2008)
In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell des zufälligen Splitbaumes untersucht. Dies ist ein verallgemeinertes Modell, das bei passender Wahl der zugehörigenParameter viele konkrete Suchbäume umfasst. Das Modell ist in der Arbeit von L. Devroye beschrieben: Nach einem zufallsbasierten Algorithmus werden den Knoten des Baumes Daten in Form von Kugeln hinzugefügt. Tiefe und Höhe sind dabei grundlegende Größen, die die Komplexität von Suchoperationen beschreiben, wenn das Suchbaummodell als Datenstruktur verwendet wird. Das Augenmerk der Arbeit richtet sich auf eine weitere entscheidende Größe: Den Abstand zweier rein zufällig gewählter Kugeln im Baum. Aufbauend auf Devroyes Erkenntnissen zum asymptotischen Verhalten der Tiefe der zuletzt eingefügten Kugel im Splitbaum, wird ein neues Resultat erzielt: Ein universeller Zentraler Grenzwertsatz für den Abstand der Kugeln. Als Anwendungsbeispiel werden zwei vom allgemeinen Modell abgedeckte Suchbäume betrachtet und der jeweilige Grenzwertsatz für die Abstände aus dem universellen Satz abgeleitet.
Wir behandeln Kettenbruchentwicklungen in beliebiger Dimension. Wir geben einen Kettenbruchalgorithmus an, der für beliebige Dimension n simultane diophantische Approximationen berechnet, die bis auf den Faktor 2 exp (n+2)/4 optimal sind. Für einen reellen Eingabevektor x := (x1,...,X n-1, 1) berechnet der Algorithmus eine Folge ganzzahliger Vektoren ....., so daß für i =1, ...., n-1 : | q exp (k) xi -pi exp (k)| <= 2 exp (n+2)/4 sqrt (1 + xi exp 2) / q exp (1/n-1). Nach Sätzen von Dirichlet und Borel ist die Schranke optimal in dem Sinne, als daß der Exponent 1/(n-1) im allgemeinen nicht erhöht werden kann. Der Algorithmus konstruiert eine Folge von Gitterbasen des Zn, welche die Gerade x R approximieren. Für gegebenes E > 0 findet der Algorithmus entweder eine Relation zu x, das heißt einen ganzzahligen zu x orthogonalen Vektor (ungleich Null), mit euklidischer Länge kleiner oder gleich E exp -1, oder er schließt Relationen zu x mit euklidischer Länge kleiner als E exp -1 aus. Der Algorithmus führt in der Dimension n und |log E| polynomial viele arithmetische Operationen auf rellen Zahlen in exakter Arithmetik aus. Für rationale Eingaben x := (p1, ....., pn)/pn, E>0 mit p1,.....,pn Teil von Z besitzt der Algorithmus polynomiale Bitkomplexität in O........ Eine Variante dieses Algorithmus konstruiert für Eingabevektoren x einen (von x nicht notwendigerweise verschiedenen) Nahebeipunkt x' zu x und eine kurze Relation zu x'. Im Falle x<>x können wir die Existenz von Relationen kleiner als (2E)exp -1 für Punkte in einer kleinen offenen Umgebung um x' ausschließen. Wir erhalten in diesem Sinne eine stetige untere Schranke für die Länge der kürzesten Relation zu Punkten in dieser Umgebung. Die für x' berechnete Relation ist bis auf einen in der Dimension n exponentiellen Faktor kürzeste Relation für x'. Zur Implementierung des Kettenbruchalgorithmus stellen wir ein numerisch stabiles Verfahren vor und berichten über experimentelle Ergebnisse. Wir geben untere Schranken für die Approximierbarkeit kürzester Relationen in der Maximum-Norm und minimaler diophantischer Approximationen an: Unter der Annahme, daß die Klasse NP nicht in der deterministischen Zeitklasse O(n exp poly log n) enthalten ist, zeigen wir: Es existiert kein Algorithmus, der für rationale Eingabevektoren x polynomial in der Bitlänge bin(x) von x ist und die in der Maximum-Norm kürzeste Relation bis auf einen Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) approximiert. Dabei ist zeta eine beliebig kleine positive Konstante. Wir übertragen dieses Resultat auf das Problem, zu gegebenen rationalen Zahlen x1,....,xn-1 und einem rationalen E > 0 gute simultane diophantische Approximationen zu finden, das heißt rationale Zahlen p1/q,...; (p n-1/)q mit möglichst kleinem Hauptnenner q zu konstruieren, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| <= E. Wir zeigen unter obiger Annahme, daß kein Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen x1,........,x n-1 und natürlicher Zahl N polynomial-Zeit in der Bitlänge bin(x) von x ist und simultane diophantische Approximationen berechnet, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| für q gehört zu [1, N] bis auf den Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) minimal ist. Hierbei ist zeta wieder eine beliebig kleine positive Konstante.
Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit Wachstum O(|Re z|^gamma), wobei gamma in R ist, im Unendlichen. Ein an das berühmte Phragmén-Lindelöf-Prinzip erinnerndes, einfaches analytisches Resultat bildet die Basis der Dualitätstheorie dieser Räume zu Funktionen mit festgelegtem Wachstumstyp. Wir studieren diese Dualität analytischer Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern gründlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln. Die für uns wichtigsten neuen Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind die von unendlichem Typ, das heißt solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In n Dimensionen benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow zur Charakterisierung von Testfunktionenräumen eingeführten Schemas der Räume S(alpha,beta) um verallgemeinerte Funktionen ist. Schließlich zeigen wir die Nuklearität der temperierten und asymptotischen Hyperfunktionen. Wir zeigen, daß die asymptotischen Hyperfunktionen genau die Klasse bilden, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Estradas Theorie ist damit ein Spezialfall der unsrigen. Für Hyperfunktionen lassen sich aber dank des Konzeptes der standard definierenden Funktionen die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen von analytischen Funktionen verstehen. Wir zeigen die einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten und benutzen dann ein Resultat von Estrada, um die Vollständigkeit unseres Moment-asymptotischen Schemas abzuleiten. Wir geben genaue Bedingungen für die Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger an, die kürzlich von Kim et al. gefunden wurden. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung zur Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir benutzen Kims Resultate, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden. Schließlich verwenden wir das Träger-Theorem der Radontransformation, um ein Resultat über das Singularitätenspektrum aus Bedingungen an die Radontransformierte abzuleiten.
In der vorliegenden Arbeit werden Aspekte autonomer und nichtautonomer dynamischer Systeme behandelt, wobei Attraktoren und verwandte Objekte eine wichtige Rolle spielen werden. Zunächst findet man in einem Kapitel über dynamische Systeme die Definition der grundlegenden Begriffe Attraktor, Repeller und Schiefproduktfluss, gefolgt von zwei hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Attraktoren. Mit den Attraktoren und Repellern können dann im nächsten Kapitel Morsemengen eingeführt werden. Dadurch kann das Verhalten eines dynamischen Systems qualitativ beschrieben werden. Des weiteren wird auf die Bedeutung der Kettenrekurrenzmenge für die Morsemengen eingegangen. Im Kapitel über Kontrolltheorie wird, nach einer kurzen Einführung in dieses Gebiet, gezeigt, dass der dort definierte Lift einer Kettenkontrollmenge unter gewissen Voraussetzungen eine Morsemenge ist. Im letzten Kapitel geht es um Pullback-Attraktoren, die unter den angegebenen Bedingungen als Attraktoren für den Schiefproduktfluss interpretiert werden können.
Informationsverarbeitung im Gehirn basiert auf dem koordinierten Zusammenwirken von Milliarden von Nervenzellen. Um diese Codes zu entschlüsseln, sind komplexe Verfahren experimenteller Datenerhebung und theoretischer Datenanalyse notwendig. Denn auch wenn alle Zellen im selben Rhythmus agieren, kann sich jede auf ihre Art am Konzert beteiligen. Die verschiedenen Stimmen äußern sich in zeitlichen Mustern, die sich experimentell kaum vom Rauschen unterscheiden lassen. Erst mithilfe statistischer Verfahren konnten winzige zeitliche Verzögerungen als nicht zufällig identifiziert werden.
In dem Artikel ,,Zur Axiomatik der Mengenlehre" habe ich die Axiome, die sich mit den Gebieten der Äquivalenz, der Mengenteilung und Mengenuergleichung beschäftigen, einer Erörterung unterzogen. An zwei Resultate dieses Artikels knüpfe ich hier an. Erstens einmal, da die in ihm durchgeführten Untersuchungen auf die Elemente der Mengen gar nicht eingehen, so stellen sie, allgemein gesprochen, axiomatische Betrachtungen über Größen und Größenbeziehungen dar, an denen die Mengen ja Teil haben; und zweitens hatte eine der dort analysierten Beziehungen den Gedanken nahegelegt, auch Größen entgegengesetzter Art (resp. Mengen von zweierlei Art von Elementen) in Betracht zu ziehen, und auf sie die oben genannten Operationen auszudehnen. Hier nun gebe ich im folgenden einige Ergänzungen. Bereits a. a. O.war bemerkt worden, daß es naturgemäß der Untersuchung bedarf, ob für die so charakterisierten Mengen die weiteren allgemeinen Sätze der Cantorschen Theorie in Kraft bleiben. Inzwischen hat mir Herr A. Fränkel mitgetelt, daß für das von mir konstruierte Beispiel schon ein Teil der in meinem Artikel zugrunde gelegten Axiome versagt; und zwar ein Teil der Axiome über Teilmengen. Über Teilmengen habe ich zwei Axiome an die Spitze gestellt. ......
Die Hilbertsche Grundlegung der Geometrie darf für alle analogen Untersuchungen als vorbildlich gelten. Zwei ihrer Eigenschaften sind es, auf die es hier ankommt. Erstens wird von allen sprachlichen Definitionen der Objekte, mit denen sie operiert, wie Punkt, Gerade, zwischen usw. abgesehen; nur ihre gegenseitigen Beziehungen und deren Grundgesetze werden axiomatisch an die Spitze gestellt. Zweitens werden die Axiome in verschiedene Gruppen gewisser Eigenart und Tragweite gespalten (die des Schneidens und Verbindens, die Axiome der Ordnung, der Kongruenz usw.), und es ist eine wesentliche Aufgabe des axiomatischen Aufbaues, zu prüfen, bis zu welchen Resultaten eine einzelne oder mehrere dieser Gruppen für sich führen. Die gleiche Behandlung eignet sich für die Mengenlehre. Von sprachlicher Einführung der Begriffe Menge, Bereich usw. ist daher ebenso abzusehen , wie von der des Punktes oder Raumes. Ebenso kann man hier gewiisse Axiomgruppen unterscheiden, die Axiome der Aquivalenz, die Axiome der Ordnung usw., und kann die gleichen Fragen stellen, wie im Gebiet der Geometrie. Dies soll im folgenden geschehen und zwar für denjenigen Teii, der nur mit dar Äquivalenz der Mengen, der Mengenteilung und Mengenverbindung, sowie der Mengenvergleichung operiert.....
Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus dem Gebiet der Fuchsschen Gruppen. Das Problem, das hier geklärt werden soll, entspringt einer im Jahre 2005 erschienenen Arbeit über Konjugatoren Fuchsscher Gruppen und quasiplatonische Riemannsche Flächen von Jürgen Wolfart und Ernesto Girondo [GW05]. Es ist dort ein alternativer geometrischer Weg gewählt worden, um es zu umgehen, und es soll nun hier mit den bereits 1970 bereitgestellten Methoden zur Fragestellung der Existenz von Untergruppen Fuchsscher Gruppen von David Singerman [SIN70] gelöst werden. Betrachtet man eine Dreiecksgruppe $Delta_{1}$ als Untergruppe einer Dreiecksgruppe $Delta_{2}$, so kann es vorkommen, dass diese Inklusion eine Verfeinerung durch eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta$ gestattet. In den Fällen, in denen zu einer gegebenen Dreiecksgruppe $Delta_{2}$ voneinander verschiedene Untergruppen gleicher Signatur $Delta_{1},Delta_{1}Apostroph,...$ existieren, ist es nicht a priori klar, dass es eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gleicher Signatur zu jeder dieser verschiedenen Untergruppen gibt. Das Ziel dieser Arbeit ist es nun, dies zu klären, d.h. zu zeigen, dass es für jedes Paar Dreiecksgruppen $Delta_{1}subseteqDelta_{2},Delta_{1}ApostrophsubseteqDelta_{2},...$ eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gibt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine grobe Einleitung in die Theorie der Diskontinuierlichen Gruppen gegeben, die sehr stark auf Fuchssche Gruppen abzielt und mit deren Verbindung zu Riemannschen Flächen abschließt. Sie orientiert sich sehr stark an einem Standardwerk über Diskontinuierliche Gruppen von Joseph Lehner [LEH64]. Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns ganz den Untergruppen Fuchsscher Gruppen und dem von David Singerman [SIN70] bereitgestellten Apparat, der eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür aufzeigt. Wie David Singerman auch zeigt, lassen sich diese Methoden für Normalteiler und Dreiecksgruppen spezialisieren. Wir werden uns dem auch annehmen. Abschließend erarbeiten wir dann eine ausführliche Methode und somit auch einen Beweis zur Erlangung der kompletten Liste von Inklusionen Fuchsscher Dreiecksgruppen, wie sie sich in einer weiteren Arbeit David Singermans befindet [SIN72]. Dies geschieht mit Hilfe zweier Maple-Programme deren Quellcode und Ausgabe sich im Anhang bzw. vierten Teil dieser Arbeit zur Einsicht bendet. Im dritten Teil dieser Arbeit wird schließlich die oben erläuterte Fragestellung geklärt werden. Sie wird zunächst anhand vieler Beispiele und Erläuterungen verdeutlicht, und im Anschluss dessen eine mögliche Verallgemeinerung auf Fuchssche Gruppen diskutiert.
Diese Arbeit beschäaftigt sich mit den Eigenschaften dynamischer Systeme, die in Form von autonomen Differentialgleichungen vorliegen. Genauer: Das Langzeitverhalten dieser dynamischen Systeme soll untersucht werden. Es läßtt sich beschreiben durch für das jeweilige System charakteristische Mengen, die attrahierenden Mengen und deren Einzugsbereiche. Attrahierende Mengen sind bezüglich eines dynamischen Systems invariante Mengen, die Trajektorien des dynamischen Systems, die in ihrer Umgebung starten, anziehen. Der Einzugsbereich einer attrahierenden Menge ist die Menge aller Punkte, die von der attrahierenden Menge angezogen werden. Betrachtet werden Systeme, die von einer Eingangsfunktion abhängen. Diese Eingangsfunktion kann je nach Zusammenhang eine Störung des dynamischen Systems oder eine Kontrolle desselben darstellen. Werden Störungen betrachtet, so sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die für alle Eingangsfunktionen gelten, zu untersuchen. Diese werden in dieser Arbeit als starke Eigenschaften bezeichnet. Werden Kontrollen betrachtet, sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die nur für mindestens eine Eingangsfunktion erfüllt sind, zu untersuchen. Sie werden hier als schwache Eigenschaften bezeichnet. Man betrachte beispielsweise einen Punkt, der zu einer invarianten Menge gehört. Zu jeder Eingangsfunktion gibt es eine zugehörige Trajektorie, die an diesem Punkt startet. Starke Invarianz bedeutet, daß keine dieser Trajektorien jemals die invariante Menge verläßt, schwache Invarianz, da mindestens eine dieser Trajektorien niemals die invariante Menge verläßt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der schwachen Einzugsbereiche. Sie lassen sich nur in Ausnahmefällen durch theoretische Überlegungen finden. Daher ist es von Nutzen, diese Mengen numerisch zu berechnen. Hier soll deshalb die benötigte Theorie bereitgestellt werden, um schwache Einzugsbereiche mit einem Unterteilungsalgorithmus anzunähern. Ein Unterteilungsalgorithmus dient allgemein dazu, innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge eine Menge, die eine bestimmte Eigenschaft hat, zu finden. Die Idee eines solchen Algorithmus ist es einfach, die Grundmenge in "Zellen" zu unterteilen und für jede dieser Zellen zu prüfen, ob sie ganz, gar nicht oder teilweise zur gesuchten Menge gehört. Gehört eine Zelle nur teilweise zur gesuchten Menge, so wird sie weiter unterteilt und für die "Teilzellen" erneut entschieden, ob sie zur gesuchten Menge gehören. Für die Berechnung eines schwachen Einzugsbereiches bedeutet dies, daß für jede Zelle überprüft werden muß, ob es eine Kontrollfunktion gibt, mit deren Hilfe Trajektorien der betrachteten Differentialgleichung, die innerhalb der Zelle starten, in eine gegebene schwach attrahierende Menge (bzw. eine passend gewählte Umgebung dieser Menge) gesteuert werden können.
Komplexität von Gitterproblemen : Nicht-Approximierbarkeit und Grenzen der Nicht-Approximierbarkeit
(2000)
Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P <> NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO exp(1/log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n/ sqrt(log n) unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q >= N, so daß maxi minp2Z |q alpha i - p| minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen. Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P 6= NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO(1= log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=plog n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q <= N, so daß maxi ...... minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen alpha1,......, alphan und eine Hauptnennerschranke N einen Nenner ~q mit 1 <= ~q <= f(n)N berechnet, so daß ~q bis auf einen Faktor f(n) = nO(1= log0:5+epsilon n) ein Best Approximations Nenner ist, wobei epsilon > 0 eine beliebige Konstante ist. Wir zeigen, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=log n unter plausiblen Annahmen nicht mölich ist. Wir untersuchen die Konsequenzen dieser Resultate zur Konstruktion von im Durchschnitt schwierigen Gitterproblemen.
Optimierung von Phasen- und Ratenparametern in einem stochastischen Modell neuronaler Feueraktivität
(2014)
In unserem Gehirn wird Information von Neuronen durch die Emission von Spikes repräsentiert. Als wichtige Signalkomponenten werden hierbei die Rate (Anzahl Spikes), die Phase (zeitliche Verschiebung der Spikes) und synchrone Oszillationen (rhythmische Entladungen der Neuronen am selben Zyklus) diskutiert.
In dieser Arbeit wird untersucht, wie Rate und Phase für eine optimale Detektion miteinander kombiniert werden und abhängig vom gewählten Parameterbereich wird der Beitrag der Phase quantifiziert.
Dies wird anhand eines stochastischen Spiketrain-Modell untersucht, das hohe Ähnlichkeiten zu empirischen Spiketrains zeigt und die drei genannten Signalkomponenten beinhaltet. Das ELO-Modell („exponential lockig to a free oscillator“) ist in zwei Prozessstufen unterteilt: Im Hintergrund steht ein globaler Oszillationsprozess, der unabhängige und normal-verteilte Intervallabschnitte hervorbringt (Oszillation). An den Intervallgrenzen starten unabhängig, inhomogene Poisson-Prozesse (Synchronizität) mit exponentiell abnehmender Feuerrate, die durch eine stimulusspezifische Rate und Phase festgelegt ist.
Neben einer analytischen Bestimmung der optimalen Parameter im Falle reiner Raten- bzw. Phasencodierung, wird die gemeinsame Codierung anhand von Simulationsstudien analysiert.
Binärsuchbäume sind eine wichtige Datenstruktur, die in der Informatik vielfach Anwendung finden. Ihre Konstruktion ist deterministisch, zur Analyse ihrer Eigenschaften wird aber eine rein zufällige Eingabe zugrundegelegt. Viele Größe, wie z.B. Tiefe, Höhe und Pfadlänge werden seit Jahren viel untersucht. Als besonders interessant hat sich die Analyse des Profils, der Anzahl Knoten einer bestimmten Tiefe herausgestellt. In dieser Arbeit wird ein funktionaler Grenzwertsatz für das am Erwartungswert normierte Profil vorgestellt. Dazu werden unterschiedliche Zugänge gewählt, die hauptsächlich auf dem sogenannten Profil-Polynom beruhen. Zunächst wird ein klassischer Zugang mit Hilfe von Martingalen besprochen. Der diskrete Prozess wird dazu auf kanonische Weise in ein zeitstetiges Modell (Yule-Prozess) eingebettet. Ergebnisse im kontinuierlichen Prozess werden dann durch Stoppen auf den diskreten übertragen. Zudem wird ein neuerer Zugang vorgestellt, der auf der Kontraktionsmethode in Banachräumen unter Verwendung der Zolotarev-Metrik beruht.
Die vorliegende Arbeit untersucht ausgewählte Eigenschaften von Preferential Attachment-Graphen. Darunter verstehen wir eine Klasse komplexer zufälliger Graphen, die mit einer vorgegebenen Konfiguration gestartet werden und anschließend mit jedem Zeitschritt um eine Ecke und m Kanten wachsen. Die Wachstumsregeln sind so gestaltet, dass eine neue Ecke ihre Kanten bevorzugt an Ecken sendet, die bereits mit vielen anderen Ecken verbunden sind, woraus sich die Bezeichnung Preferential Attachment (PA) ableitet. Die Arbeit stellt zunächst heuristisch die Eigenschaft der Skalenfreiheit von PA-Modellen vor und bespricht anschließend einen Beweis zu dieser These. Weiter betrachten wir den Durchmesser von PA-Graphen und untersuchen das Verhalten bei Anwachsen des Graphen. Wir erkennen, dass der Durchmesser bei wachsendem Graphen deutlich langsamer wächst, was wir als Small World-Phänomen bezeichnen. Die zentralen Aussagen und Beweise orientieren sich an den Arbeiten von Remco van der Hofstad, der die bekannten PA-Modelle um einen Parameter erweitert hat. Damit ist es möglich, sowohl logarithmische als auch doppelt-logarithmische Schranken für den Durchmesser zu erhalten.
Die vorliegende Dissertation analysiert Großinvestorhandelsstrategien in illiquiden Finanzmärkten. Ein Großinvestor beeinflusst die Preise der Wertpapiere, die er handelt, so dass der daraus resultierende Feedbackeffekt berücksichtigt werden muss. Der Preisprozess wird durch eine Familie von cadlag Semimartingalen modelliert, die in dem zusätzlichen Parameter stetig differenzierbar ist. Ziel ist es, eine möglichst allgemeine Strategiemenge zu bestimmen, für die eine Vermögensdynamik definiert werden kann. Es sind dies vorhersehbare Prozesse von wohldefinierter quadratischer Variation entlang Stoppzeiten. Sie erweisen sich als laglad. Die Vermögensdynamikzerlegung zeigt, dass bei stetigen adaptierten Strategien von endlicher Variation (zahme Strategien) die quadratischen Transaktionskostenterme verschwinden und der Gewinnprozess nur noch aus einem nichtlinearen stochastischen Integral besteht. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen gewisse Approximationen vorhersehbarer laglad Strategien durch adaptierte stetige Strategien von endlicher Variation möglich sind. Im Fall, dass der Approximationsfehler für die Risikoeinstellung des Großinvestors erträglich ist, kann er seine Investmentziele durch Verwendung dieser zahmen Strategien, Liquiditätskosten vermeidend, erreichen. In diesem Fall ist der Gewinnprozess durch das nicht-lineare stochastische Integral gegeben.