Mathematik
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Die letzten Jahrzehnte brachten einen enormen Zuwachs des Wissens und Verständnisses über die molekularen Prozesse des Lebens.Möglich wurde dieser Zuwachs durch die Entwicklung diverser Methoden, mit denen beispielsweise gezielt die Konzentration einzelner Stoffe gemessen werden kann oder gar alle anwesenden Metaboliten eines biologischen Systems erfasst werden können. Die großflächige Anwendung dieser Methoden führte zur Ansammlung vieler unterschiedlicher -om-Daten, wie zum Beispiel Metabolom-, Proteom- oder Transkriptoms-Datensätzen. Die Systembiologie greift auf solche Daten zurück, um mathematische Modelle biologischer Systeme zu erstellen, und ermöglicht so ein Studium biologischer Systeme auch außerhalb des Labors.
Für größere biologische Systeme stehen jedoch meistens nicht alle Informationen über Stoffkonzentrationen oder Reaktionsgeschwindigkeiten zur Verfügung, um eine quantitative Modellierung, also die Beschreibung von Änderungsraten kontinuierlicher Variablen, durchführen zu können. In einem solchen Fall wird auf Methoden der qualitativen Modellierung zurückgegriffen. Eine dieser Methoden sind die Petrinetze (PN), welche in den 1960er Jahren von Carl Adam Petri entwickelt wurden, um nebenläufige Prozesse im technischen Umfeld zu beschreiben. Seit Anfang der 1990er Jahre finden PN auch Anwendung in der Systembiologie, um zum Beispiel metabolische Systeme oder Signaltransduktionswege zu modellieren. Einer der Vorteile dieser Methode ist zudem, dass Modelle als qualitative Beschreibung des Systems begonnen werden können und im Laufe der Zeit um quantitative Beschreibungen ergänzt werden können.
Zur Modellierung und Analyse von PN existieren bereits viele Anwendungen. Da das Konzept der PN jedoch ursprünglich nicht für die Systembiologie entwickelt wurde und meist im technischen Bereich verwendet wird, existierten kaum Anwendungen, die für den Einsatz in der Systembiologie entwickelt wurden. Daher ist auch die Durchführung der für die Systembiologie entwickelten Analysemethoden für PN nicht mit diesen Anwendungen möglich. Die Motivation des ersten Teiles dieser Arbeit war daher, eine Anwendung zu schaffen, die speziell für die PN-Modellierung und Analyse in der Systembiologie gedacht ist, also in ihren Analysemethoden und ihrer Terminologie sich an den Bedürfnissen der Systembiologie orientiert. Zudem sollte die Anwendung den Anwender bei der Auswertung der Resultate der Analysemethoden visuell unterstützen, indem diese direkt visuell im Kontext des PN gesetzt werden. Da bei komplexeren PN die Resultate der Analysemethoden in ihrer Zahl drastisch anwachsen, wird eine solche Auswertung dieser notwendig. Aus dieser Motivation heraus entstand die Anwendung MonaLisa, dessen Implementierung und Funktionen im ersten Teil der vorliegenden Arbeit beschrieben werden. Neben den klassischen Analysemethoden für PN, wie den Transitions- und Platz-Invarianten, mit denen grundlegende funktionale Module innerhalb eines PN gefunden werden können, wurden weitere, meist durch die Systembiologie entwickelte, Analysemethoden implementiert. Dazu zählen zum Beispiel die Minimal Cut Sets, die Maximal Common Transitions Sets oder Knock-out-Analysen. Mit MonaLisa ist aber auch die Simulation des dynamischen Verhaltens des modellierten biologischen Systems möglich. Hierzu stehen sowohl deterministische als auch stochastische Verfahren, beispielsweise der Algorithmus von Gillespie zur Simulation chemischer Systeme, zur Verfügung. Für alle zur Verfügung gestellten Analysemethoden wird ebenfalls eine visuelle Repräsentation ihrer Resultate bereitgestellt. Im Falle der Invarianten werden deren Elemente beispielsweise in der Visualisierung des PN eingefärbt. Die Resultate der Simulationen oder der topologischen Analyse können durch verschiedene Graphen ausgewertet werden. Um eine Schnittstelle zu anderen Anwendungen zu schaffen, wurde für MonaLisa eine Unterstützung einiger gängiger Dateiformate der Systembiologie geschaffen, so z.B. für SBML und KGML.
Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der topologischen Analyse eines Datensatzes von 2641 Gesamtgenom Modellen aus der path2models-Datenbank. Diese Modelle wurden automatisiert aus dem vorhandenen Wissen der KEGG- und der MetaCyc-Datenbank erstellt. Die Analyse der topologischen Eigenschaften eines Graphen ermöglicht es, grundlegende Aussagen über die globalen Eigenschaften des modellierten Systems und dessen Entstehungsprozesses zu treffen. Daher ist eine solche Analyse oft der erste Schritt für das Verständnis eines komplexen biologischen Systems. Für die Analyse der Knotengrade aller Reaktionen und Metaboliten dieser Modelle wurden sie in einem ersten Schritt in PN transformiert. Die topologischen Eigenschaften von metabolischen Systemen werden in der Literatur schon sehr gut beschrieben, wobei die Untersuchungen meist auf einem Netzwerk der Metaboliten oder der Reaktionen basieren. Durch die Verwendung von PN wird es möglich, die topologischen Eigenschaften von Metaboliten und Reaktionen in einem gemeinsamen Netzwerk zu untersuchen. Die Motivation hinter diesen Untersuchungen war, zu überprüfen, ob die schon beschriebenen Eigenschaften auch für eine Darstellung als PN zutreffen und welche neuen Eigenschaften gefunden werden können. Untersucht wurden der Knotengrad und der Clusterkoeffizient der Modelle. Es wird gezeigt, dass einige wenige Metaboliten mit sehr hohem Knotengrad für eine ganze Reihe von Effekten verantwortlich sind, wie beispielsweise dass die Verteilung des Knotengrades und des Clusterkoeffizienten, im Bezug auf Metaboliten, skalenfrei sind und dass sie für die Vernetzung der Nachbarschaft von Reaktionen verantwortlich sind. Weiter wird gezeigt, dass die Größe eines Modelles Einfluss auf dessen topologische Eigenschaften hat. So steigt die Vernetzung der Nachbarschaft eines Metaboliten, je mehr Metaboliten in einem biologischen System vorhanden sind, gleiches gilt für den durchschnittlichen Knotengrad der Metaboliten.
Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : II.
(1921)
Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : I.
(1919)
Gegenstand dieser Arbeit sind Galoisoperationen auf quasiplatonischen Riemannschen Flächen mit einer Automorphismengruppe isomorph zu PSL(2,F(q)). Quasiplatonische Riemannsche Flächen werden durch torsionsfreie Normalteiler N in einer Dreiecksgruppe D uniformisiert, d.h. N ist die universelle Überlagerungsgruppe und die Flächen, die man auch als algebraische Kurven beschreiben kann, sind isomorph zu N\U, wenn U die obere Halbebene bezeichnet. Bzgl. der Größe der Automorphismengruppen bilden die quasiplatonischen Kurven die lokalen Maxima im Modulraum. Die absoluten Maxima liegen bei den Hurwitz-Kurven; hier hat die Automorphismengruppe die maximale Größe von 84(g-1), wenn g>1 das Geschlecht der Kurve ist. Der Normalisator in PSL(2,R) der Überlagerungsgruppe N ist dann die Dreiecksgruppe mit Signatur (2,3,7). Macbeath hat die Bedingungen dafür gefunden, wann PSL(2,F(q)) eine Hurwitz-Gruppe ist. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass q=p eine Primzahl kongruent +-1 mod 7 ist. Hier hat man drei nicht-isomorphe Kurven, die jedoch alle galoiskonjugiert zueinander sind. In der Arbeit werden Bedingungen angegeben, unter denen sich dieses Resultat auf Dreiecksgruppen D mit einer Signatur der Form (2,m_1,m_2) verallgemeinern lässt. Dabei gehen einerseits Ergebnisse von Frye ein, der die Anzahl der verschiedenen torsionsfreien Normalteiler N<D mit Quotienten PSL(2,F(q)) über die Spurtupel der Erzeugenden von D bestimmt hat. Andererseits wird eine Methode von Streit verwendet, mit der man die Galoisoperation auf den Kurven anhand des Verhaltens der Multiplikatoren der Erzeugenden in der Automorphismengruppe nachvollziehen kann. Es zeigt sich, dass sich Spur- und Multiplikatortupel entsprechen, woraus man die Anzahl und Länge der Galois-Orbits erhält. Außerdem lässt sich der Definitionskörper der Kurven bestimmen. Offen bleibt das genaue Verhalten bei Signaturen (m_0,m_1,m_2) mit m_i ungleich 2 für alle i. Hier gibt es zu jedem Multiplikatortupel zwei verschiedene Spurtupel. Kann man die Kurven durch die Multiplikatoren beschreiben, dann erhält man Projektionen D->>PSL(2,F(q)) auch über die Quaternionenalgebra, die die Dreiecksgruppe über ihrem Spurkörper erzeugt. Die Normalteiler erweisen sich dann als Schnitt der Dreiecksgruppe mit einer Hauptkongruenzuntergruppe nach einem Primideal P|char(F(q)) in der Norm-1-Gruppe einer Ordnung der Quaternionenalgebra. Dabei ist das Spurtripel in PSL(2,F(q)) gerade das Spurtripel aus D modulo P. Ändert man P, so erhält man ein anderes Spurtripel in PSL(2,F(q)), also auch einen anderen Normalteiler. Bilden die zugehörigen Kurven eine Bahn unter der Galoisoperation, dann ergeben sich alle Normalteiler auf diese Weise. Die Galoisoperation auf den Tripeln der Multiplikatoren, also die Galoisoperation auf den Kurven, ist verträglich mit der Operation, die die Primideale P|char(F(q)) permutiert. Wir erhalten also eine natürliche Korrespondenz zwischen der Galoisoperation auf den Kurven einerseits und der Operation auf den Primidealen andererseits.
Die Arbeit befasst sich mit einer Vereinfachung des von Devroye (1999) geprägten Begriffs der random split trees und verallgemeinert diesen im Sinne von Janson (2019) auf unbeschränkten Verzweigungsgrad. Diese Verallgemeinerung deckt auch preferential attachment trees mit linearen Gewichten ab, wofür ein Beweis von Janson (2019) aufbereitet wird. Zusätzlich bleiben die von Devroye (1999) nachgewiesenen Eigenschaften über die Tiefe der hinzugefügten Knoten erhalten.
Der Begriff der editierfreundlichen Kryptographie wurde von Mihir Bellare, Oded Goldreich und Shafi Goldwasser 1994 bzw. 1995 eingeführt. Mit einem editierfreundlicher Verschlüsselungs- oder Unterschriftenverfahren kann man aus einer Verschlüsselung bzw. Unterschrift zu einer Nachricht schnell eine Verschlüsselung oder Unterschrift zu einer ähnlichen Nachricht erstellen. Wir geben eine Übersicht über die bekannten editierfreundlichen Verfahren und entwickeln sowohl ein symmetrisches als auch ein asymmetrisches editierfreundliches Unterschriftenverfahren (IncXMACC und IncHSig). Wir zeigen, wie man mit editierfreundlichen Schemata überprüfen kann, ob die Implementierung einer Datenstruktur korrekt arbeitet. Basierend auf den Ideen der editierfreundlichen Kryptographie entwickeln wir effiziente Verfahren für spezielle Datenstrukturen. Diese Ergebnisse sind in zwei Arbeiten [F97a, F97b] zusammengefaßt worden.
In der vorliegenden Diplomarbeit beschäftigen wir uns mit kryptographisch sicheren Pseudozufallsgeneratoren. Diese e±zienten Algorithmen erzeugen zu zufälliger Eingabe deterministisch eine längere Bitfolge, die praktisch von einer Folge zufälliger Münzwürfe nicht unterscheidbar ist. Wir geben die Definitionen von A. Yao sowie M. Blum und S. Micali, beweisen die Äquivalenz und charakterisieren den Unterschied zur klassischen Sichtweise von Zufallsgeneratoren. Mit der Blum-Micali-Konstruktion zeigen wir, wie man aus einer Oneway-Permutation und zugehörigem Hardcore-Prädikat einen kryptographisch sicheren Pseudozufallsgenerator konstruiert: Man wendet auf einen zufälligen Startwert iterativ die Oneway-Funktion an und gibt jeweils das Hardcore-Prädikat des Urbilds aus. Wir stellen das allgemeine Hardcore- Prädikat inneres Produkt modulo 2 von L.A. Levin und O. Goldreich vor und beweisen mit Hilfe des XOR-Lemmas von U.V. Vazirani und V.V. Vazirani die Verallgemeinerung zu einer Hardcore-Funktion, die statt eines Prädikats mehrere Bits ausgibt. Man geht davon aus, daß die Verschlüsselungsfunktionen des RSA- und des Rabin-Public- Key-Kryptosystems Oneway-Permutationen sind. Basierend auf dem Rabin-System haben L. Blum, M. Blum und M. Shub den x2-mod-N-Generator aufgebaut, W. Alexi, B. Chor, O. Goldreich und C.P. Schnorr haben den RSA-Generator konstruiert und den Sicherheitsbeweis zum x2-mod-N-Generator verbessert. Diese Generatoren basieren auf der Blum-Micali-Konstruktion mit dem Hardcore-Prädikat des untersten Bits. Durch neue Ideen können wir die beweisbare Sicherheit der Generatoren deutlich erhöhen, so daß in der Praxis kleinere Schlüssellängen genügen. Bisher war zum Beispiel für den x2-mod-N-Generator bekannt, daß man mit einem Algorithmus A, der das unterste Bit der Wurzel modulo einer n-Bit- Blumzahl mit Wahrscheinlichkeit 1 2 + ² in Zeit |A| = ¡n3¢ berechnet, den Modul in Zeit O¡n3² 9|A|¢ mit Wahrscheinlichkeit ²2 64 faktorisieren kann. Wir verbessern die Laufzeit zu O¡n² 4 log2(n² 1)|A|¢ und Wahrscheinlichkeit 1 9 . Diese neuen Resultate wurden auf der Eurocrypt-Konferenz im Mai 1997 in Konstanz vorgestellt, D.E. Knuth hat sie bereits in die neue Auflage seines Standardwerks The Art of Computer Programming aufgenommen.
Okamoto (Crypto 1992) hat die RSA-Repräsentation als Basis eines gegen aktive Angreifer sicheren Identifikationsschemas eingeführt. Eine RSA- Repräsentation von X E Z * N ist ein Paar (x; r) E Z e x Z * N mit X = g x r e (mod N) für vorgegebenes g E ZN , RSA-Modul N und primen RSA- Exponenten e. Das zugehörige Repräsentationsproblem, also das Auffinden eines Wertes X samt zweier verschiedener Darstellungen, ist äquivalent zum RSA-Problem, der Berechnung einer e-ten Wurzel von g modulo N . Von Brassard, Chaum und Crépeau (Journal Computing System Science, 1988) sowie Damgard (Journal of Cryptology, 1995) stammt eine analoge Konstruktion der Form X = g x r 2 t (mod N) mit x E Z 2 t für den Spezialfall der Blum-Zahlen als Modul N und gegebenes t größer gleich 1, wo die Möglichkeit, zwei verschiedene Repräsentationen zu berechnen, gleichbedeutend zur Zerlegung des Moduls in die Primfaktoren ist. Im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit verallgemeinern wir dieses Konzept systematisch auf beliebige (RSA-)Module durch die Einführung eines Anpassungsparameters r:= r (N ), so dass X = g x r 2 r t (mod N) mit x E Z 2 t. Basierend auf dieser als Faktorisierungsrepräsentation bezeichneten Darstellung leiten wir Identifikations-, Signatur- und Blinde-Unterschriften-Verfahren her. Im zweiten Teil verwenden wir sowohl RSA- als auch Faktorisierungsrepräsentation als Grundlage sogenannter non-malleable Commitment-Schemata zur Hinterlegung (Verbriefung) einer geheimen Nachricht. Bei dem von Dolev, Dwork und Naor (SIAM Journal on Computing, 2000) eingeführten Begriff der Non-Malleability soll ein Angreifer außer Stande sein, die Hinterlegung einer Nachricht m so abzuändern, dass er diese später dann mit einem in Relation zu m stehenden Wert, man denke zum Beispiel an m 1, aufdecken kann. Von Dolev, Dwork und Naor stammt ein allgemeiner Ansatz zur Konstruktion von non-malleable Commitment-Schemata aufbauend auf einem sogenannten Knowledge-Extraktor. Für die RSA-Darstellung verfügt das von Okamoto entworfene Protokoll als Proof-Of-Knowledge über einen solchen Extraktor, bei dem im Fall der Faktorisierungsrepräsentation von uns entwickelten Verfahren fehlt allerdings der Extraktor. Aus diesem Grund stellen wir mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes ein neues, auf Commitments zugeschnittenes Protokoll mit Knowledge-Extraktor vor, das in Verbindung mit der Faktorisierungsrepräsentation ein effizientes Hinterlegungsschema ergibt. Zum Abschluß wird bei einem Commitment- Verfahren mit abgeschwächter Non-Malleability-Eigenschaft von Di Crescenzo, Katz, Ostrovsky und Smith (Eurocrypt 2001) die RSA- durch die Faktorisierungsrepräsentation ersetzt und das Schema vereinfacht.
Bei der Untersuchung des Langzeitverhaltens von Verzweigungsprozessen und räumlich verzweigenden Populationen ist die Betrachtung von Stammbäumen zunehmend in den Vordergrund gerückt. Probabilistische Methoden haben die in der Theorie vorherrschenden analytischen Techniken ergänzt und zu wesentlichen neuen Einsichten geführt. Die vorliegende Synopse diskutiert eine Auswahl meiner Veröffentlichungen der letzten Jahre. Den Arbeiten ist gemeinsam, dass durch das Studium der genealogischen Verhältnisse in der Population Aussagen über deren Langzeitverhalten gewonnen werden konnten. Zwei dieser Arbeiten behandeln den klassischen Galton-Watson Prozess. Eine weitere Arbeit befasst sich mit Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung, sie ist technische wesentlich anspruchsvoller. Die vierte der hier besprochenen Arbeiten beschäftigt sich mit dem Wählermodell, einem der Prototypen interagierender Teilchensysteme.