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Mixed volumes, mixed Ehrhart theory and applications to tropical geometry and linkage configurations
(2009)
The aim of this thesis is the discussion of mixed volumes, their interplay with algebraic geometry, discrete geometry and tropical geometry and their use in applications such as linkage configuration problems. Namely we present new technical tools for mixed volume computation, a novel approach to Ehrhart theory that links mixed volumes with counting integer points in Minkowski sums, new expressions in terms of mixed volumes of combinatorial quantities in tropical geometry and furthermore we employ mixed volume techniques to obtain bounds in certain graph embedding problems.
Tropical geometry is the geometry of the tropical semiring \[\mathbb{T}:=(\mathbb{R}\cup\{\infty\},\min,+).\] Classical algebraic structures correspond to tropical structures. If $I\lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ is an ideal in a polynomial ring over a field $K$ with valuation $v$, then the classical algebraic variety correspond to the tropical variety $T(I)$. It is the set of all points $w$, such that the minimum $\min\{v(c_\alpha)+w\cdot\alpha\}$ is achieved twice for all $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in I$. So tropical geometry relates algebraic geometric problems with discrete geometric problems. In this thesis we obtain a tropical version of the Eisenbud-Evans Theorem which states that every algebraic variety in $\mathbb{R}^n$ is the intersection of $n$ hypersurfaces. We find out that in the tropical setting every tropical variety $T(I)$ can be written as an intersection of only $(n+1)$ tropical hypersurfaces. So we get a finite generating system of $I$ such that the corresponding tropical hypersurfaces intersect to the tropical variety, a so-called tropical basis. Let $I \lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ be a prime ideal generated by the polynomials $f_1, \ldots, f_r$. Then there exist $g_0,\ldots,g_{n} \in I$ such that \[ T(I) \ = \ \bigcap_{i=0}^{n}T(g_i)\] and thus $\mathcal{G} := \{f_1, \ldots, f_r, g_0, \ldots, g_{n}\}$ is a tropical basis for $I$ of cardinality $r+n+1$. Tropical bases are discussed by Bogart, Jensen, Speyer, Sturmfels and Thomas where it is shown that tropical bases of linear polynomials of a linear ideal have to be very large. We do not restrict the tropical basis to consist of linear polynomials and therefore we get a shorter tropical basis. But the degrees of our polynomials can be very large. The main ingredient to get a short tropical basis is the use of projections, in particular geometrically regular projections. Together with the fact that preimages of projections of tropical varieties are themselves tropical varieties of a certain elimination ideal we get the desired result. Let $I \lhd K[x_1, \ldots, x_n]$ be an $m$-dimensional prime ideal and $\pi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{m+1}$ be a rational projection. Then $\pi^{-1}(\pi(T(I)))$ is a tropical variety, namely \[ \pi^{-1}(\pi(T(I))) \ = \ T(J \cap K[x_1, \ldots, x_n]) \,\] Here $J$ is an ideal in $K[x_1,\ldots,x_n,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-m-1}]$ derived from the ideal $I$. We show that this elimination ideal is a principal ideal which yields a polynomial in our tropical basis. The advantage of our method is that we find our polynomials by projections and therefore we can use the results of Gelfand, Kapranov and Zelevinsky , of Esterov and Khovanskii , and of Sturmfels, Tevelev and Yu. With mixed fiber polytopes we get the structure and combinatorics of the image of a tropical variety and therefore the structure of the polynomials in our tropical basis. Let $I=\lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ an $m$-dimensional ideal, generated by generic polynomials $f_1,\ldots, f_{n-m}$, $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{m+1}$ a projection and $\psi$ a projection presented by a matrix with a rowspace equal to the kernel of $\pi$. Then up to affine isomorphisms, the cells of the dual subdivision of $\pi^{-1} \pi T(I)$ are of the form \[ \sum_{i=1}^p \Sigma_{\psi} (C_{i1}^{\vee}, \ldots, C_{i{k}}^{\vee}) \] for some $p\in\mathbb{N}$ and faces $F_1, \ldots, F_p$ of $T(f_1)\cap\ldots\cap T(f_k)$ and the dual cell of $F_i\subseteq U = T(f_1)\cup\ldots\cup T(f_k)$ is given by $F_i^\vee=C_{i1}^{\vee}+ \ldots+ C_{ik}^{\vee}$ with faces $C_{i1}, \ldots, C_{i k}$ of $T(f_1), \ldots, T(f_{k})$. In case that we project a tropical curve we want to find the number of $(n-1)$-cells of the above form with $p>1$, i.e. the cells which are dual to vertices of $\pi(T(I))$ which are the intersection of the images of two non-adjacent $1$-cells of $T(I)$. Vertices of this type are called selfintersection points. We show that there exist a tropcal line $L_n\subset\mathbb{R}^n$ and a projection $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$, such that $L_n$ has $\sum_{i=1}^{n-2}i$ selfintersection points. Furthermore we find tropical curves $\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$, which are transversal intersections of $n-1$ tropical hypersurfaces of degrees $d_1,\ldots,d_{n-1}$ and a projection $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$, such that $\mathcal{C}$ has at least $(d_1\cdot\ldots\cdot d_{n-1})^2\cdot \sum_{i=1}^{n-2}i) $ selfintersection points. A caterpillar is a certain simple type of a tropical line and for this type we show that it can have at most $\sum_{i=1}^{n-2}i$ selfintersection points.
In dieser Arbeit wurde deutlich, dass die Multilevel Monte Carlo Methode eine signifikante Verbesserung gegenüber der Monte Carlo Methode darstellt. Sie schafft es den Rechenaufwand zu verringern und in fast allen Fällen die gewollte Genauigkeit zu erreichen. Die Erweiterung durch Richardson Extrapolation brachte immer eine Verringerung des Rechenaufwands oder zumindest keine Verschlechterung, auch wenn nicht in allen Fällen die schwache Konvergenzordnung verdoppelt wurde.
Im Falle der Optionssensitivitäten ist eine Anwendung des MLMC-Algorithmus problematisch. Das Funktional, das auf den Aktienkurs angewendet wird, darf keine Unstetigkeitsstelle besitzen, bzw. im Falle des Gammas muss es stetig differenzierbar sein. Die Anwendung der MLMC Methode macht dann vor allem Sinn, wenn sich die Sensitivität als Funktion des Aktienkurses umformen lässt, so dass nur der Pfad der Aktie simuliert werden muss. Nur wenn dies nicht möglich ist, wäre es sinnvoll, die in Kapitel 6.5 am Beispiel des Deltas vorgestellte Methode zu benutzen, in der man einen zweiten Pfad für das Delta simuliert.
Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten in der Wahl von anderen varianzreduzierenden Methoden liegen oder durch Verwendung von Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung als das Euler-Verfahren (vgl. [7], Verwendung des Milstein-Verfahrens). In diesem Fall ist theoretisch ein Rechenaufwand der Größenordnung O(ϵexp-2) möglich, da die Anzahl der zu erstellenden Samples nicht mehr mit steigendem L erhöht wird. Somit könnte das L so groß gewählt werden, dass der Bias verschwindet und der MSE ausschließlich von der Varianz des Schätzers abhängt. Um diese auf eine Größenordnung von O(ϵexp2) zu bringen, ist es nötig, O(ϵexp2) Pfade zu erstellen (siehe Gleichung (3.6)), was den Rechenaufwand begründet.
Gegenstand dieser Arbeit sind Galoisoperationen auf quasiplatonischen Riemannschen Flächen mit einer Automorphismengruppe isomorph zu PSL(2,F(q)). Quasiplatonische Riemannsche Flächen werden durch torsionsfreie Normalteiler N in einer Dreiecksgruppe D uniformisiert, d.h. N ist die universelle Überlagerungsgruppe und die Flächen, die man auch als algebraische Kurven beschreiben kann, sind isomorph zu N\U, wenn U die obere Halbebene bezeichnet. Bzgl. der Größe der Automorphismengruppen bilden die quasiplatonischen Kurven die lokalen Maxima im Modulraum. Die absoluten Maxima liegen bei den Hurwitz-Kurven; hier hat die Automorphismengruppe die maximale Größe von 84(g-1), wenn g>1 das Geschlecht der Kurve ist. Der Normalisator in PSL(2,R) der Überlagerungsgruppe N ist dann die Dreiecksgruppe mit Signatur (2,3,7). Macbeath hat die Bedingungen dafür gefunden, wann PSL(2,F(q)) eine Hurwitz-Gruppe ist. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass q=p eine Primzahl kongruent +-1 mod 7 ist. Hier hat man drei nicht-isomorphe Kurven, die jedoch alle galoiskonjugiert zueinander sind. In der Arbeit werden Bedingungen angegeben, unter denen sich dieses Resultat auf Dreiecksgruppen D mit einer Signatur der Form (2,m_1,m_2) verallgemeinern lässt. Dabei gehen einerseits Ergebnisse von Frye ein, der die Anzahl der verschiedenen torsionsfreien Normalteiler N<D mit Quotienten PSL(2,F(q)) über die Spurtupel der Erzeugenden von D bestimmt hat. Andererseits wird eine Methode von Streit verwendet, mit der man die Galoisoperation auf den Kurven anhand des Verhaltens der Multiplikatoren der Erzeugenden in der Automorphismengruppe nachvollziehen kann. Es zeigt sich, dass sich Spur- und Multiplikatortupel entsprechen, woraus man die Anzahl und Länge der Galois-Orbits erhält. Außerdem lässt sich der Definitionskörper der Kurven bestimmen. Offen bleibt das genaue Verhalten bei Signaturen (m_0,m_1,m_2) mit m_i ungleich 2 für alle i. Hier gibt es zu jedem Multiplikatortupel zwei verschiedene Spurtupel. Kann man die Kurven durch die Multiplikatoren beschreiben, dann erhält man Projektionen D->>PSL(2,F(q)) auch über die Quaternionenalgebra, die die Dreiecksgruppe über ihrem Spurkörper erzeugt. Die Normalteiler erweisen sich dann als Schnitt der Dreiecksgruppe mit einer Hauptkongruenzuntergruppe nach einem Primideal P|char(F(q)) in der Norm-1-Gruppe einer Ordnung der Quaternionenalgebra. Dabei ist das Spurtripel in PSL(2,F(q)) gerade das Spurtripel aus D modulo P. Ändert man P, so erhält man ein anderes Spurtripel in PSL(2,F(q)), also auch einen anderen Normalteiler. Bilden die zugehörigen Kurven eine Bahn unter der Galoisoperation, dann ergeben sich alle Normalteiler auf diese Weise. Die Galoisoperation auf den Tripeln der Multiplikatoren, also die Galoisoperation auf den Kurven, ist verträglich mit der Operation, die die Primideale P|char(F(q)) permutiert. Wir erhalten also eine natürliche Korrespondenz zwischen der Galoisoperation auf den Kurven einerseits und der Operation auf den Primidealen andererseits.
In der folgenden Arbeit werden Eigenschaften von Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung (engl. branching processes in random environment, kurz BPREs) untersucht. Das Modell geht auf Smith (1969) und Athreya (1971) zurück. Ein BPRE ist ein einfaches mathematisches Modell für die Entwicklung einer Population von apomiktischen (d.h. sich ungeschlechtlich fortpflanzenden) Individuen in diskreter Zeit, wobei die Umgebungsbedingungen einen Einfluß auf den Fortpflanzungserfolg der Individuen haben. Dabei wird angenommen, dass die Umgebungsbedingungen in den einzelnen Generationen zufällig sind, und zwar unabhängig und identisch verteilt von Generation zu Generation. Man denke z.B. an eine Population von Pflanzen mit einem einjährigen Zyklus, die in jedem Jahr anderen Witterungsbedingungen ausgesetzt sind, wobei angenommen wird, dass diese sich unabhängig und identisch verteilt ändern. In Kapitel 1 wird eines der wichtigsten Hilfsmittel zur Beschreibung von BPREs, die sogenannte zugehörige Irrfahrt, eingeführt und die Klassifizierung von BPREs beschrieben. In Kapitel 2 werden bekannte Resultate, insbesondere zu kritischen, schwach subkritischen und stark subkritischen Verzweigungsprozessen, wiederholt. In Kapitel 3 wird der sogenannte intermediär subkritische Fall behandelt. Mithilfe von funktionalen Grenzwertsätzen für bedingte Irrfahrten wird die genaue Asymptotik der Überlebenswahrscheinlichkeit des Prozesses, die bereits in Vatutin (2004) bewiesen wurde, unter etwas allgemeineren Voraussetzungen gezeigt. Anschließend wird untersucht, wie häufig der Prozess, bedingt auf Überleben, nur noch aus einem Individuum besteht. Im letzten Teil des Kapitels wird ein funktionaler Grenzwertsatz für die zugehörige Irrfahrt, bedingt aufs Überleben des Prozesses, gezeigt. Diese konvergiert, richtig skaliert, gegen einen Levy-Prozess, der darauf bedingt ist, sein Minimum am Ende anzunehmen. In Kapitel 4 werden große Abweichungen von BPREs untersucht. Die Ratenfunktion des BPRE wird sowohl für den Fall mindestens geometrisch schnell abfallender Tails, als auch für den Fall von Nachkommenverteilungen mit schweren Tails bestimmt. Wie sich herausstellt, hängt die Ratenfunktion von der Ratenfunktion der zugehörigen Irrfahrt, der exponentiellen Abfallrate der Überlebenswahrscheinlichkeit sowie, bei Nachkommenverteilungen mit schweren Tails, auch von den Tails derselben ab. In der Ratenfunktion spiegeln sich die wahrscheinlichsten Wege, um Ereignisse der großen Abweichungen zu realisieren, wider, was in Kapitel 4.3 beschrieben wird. In Kapitel 4.4 wird im speziellen Fall von Nachkommenverteilungen mit gebrochen-linearer Erzeugendenfunktion die Ratenfunktion für Ereignisse bestimmt, bei denen ein superkritischer BPRE überlebt, aber klein im Vergleich zum Erwartungswert bleibt. In Kapitel 4.5 werden die großen Abweichungen, bedingt auf die Umgebung untersucht (engl. quenched). In diesem Fall können unwahrscheinliche Ereignisse nur über den Verzweigungsmechanismus und nicht mehr über eine außergewöhnliche Umgebung realisiert werden. Zum Abschluss der Dissertation werden Verzweigungsprozesse in zufälliger Umgebung, bedingt auf Überle-ben, simuliert. Dazu wird eine Konstruktion nach Geiger (1999) angewendet. Diese erlaubt es, Galton-Watson Bäume in variierender Umgebung, bedingt auf Überleben, entlang einer Ahnenlinie zu konstruieren. Der Fall geometrischer Nachkommenverteilungen, auf den wir uns in Kapitel 5 beschränken, erlaubt die explizite Berechnung der benötigten Verteilungen. Als Anwendung des Grenzwertsatzes aus Kapitel 3.1 können nun intermediär subkritische Verzweigungsprozesse, bedingt auf Überleben, wie folgt simuliert werden: Zunächst wird die Umgebung zufällig bestimmt, und zwar als Irrfahrt, bedingt darauf ihr Minimum am Ende anzunehmen. Anschließend wird, der Geiger-Konstruktion folgend, ein Verzweigungsprozess in dieser Umgebung, bedingt auf Überleben, simuliert. Zum Abschluss wird in einem kurzen Ausblick auf aktuelle Forschung verwiesen. Im Anhang befinden sich einige technische Resultate.
Condensing phenomena for systems biology, ecology and sociology present in real life different complex behaviors. Based on local interaction between agents, we present another result of the Energy-based model presented by [20]. We involve an additional condition providing the total condensing (also called consensus) of a discrete positive measure. Key words: Condensing; consensus; random move; self-organizing groups; collective intelligence; stochastic modeling. AMS Subject Classifications: 81T80; 93A30; 37M05; 68U20
Dynamical systems driven by Gaussian noises have been considered extensively in modeling, simulation, and theory. However, complex systems in engineering and science are often subject to non-Gaussian fluctuations or uncertainties. A coupled dynamical system under a class of Lévy noises is considered. After discussing cocycle property, stationary orbits, and random attractors, a synchronization phenomenon is shown to occur, when the drift terms of the coupled system satisfy certain dissipativity and integrability conditions. The synchronization result implies that coupled dynamical systems share a dynamical feature in some asymptotic sense.
Martin Möller, Professor für Algebra und Geometrie an der Goethe-Universität, erhält in der dritten Ausschreibungsrunde des European Research Council (ERC) einen »Starting Independent Researcher Grant«. Mit dem 2007 erstmals ausgeschriebenen Programm der ERC-Grants will die Europäische Union (EU) europaweit kreative Wissenschaftler und zukunftsweisende Projekte fördern. Für den Bereich »Physical Sciences and Engineering « waren 1205 Bewerbungen aus der ganzen Welt eingegangen, 2873 für die Ausschreibung insgesamt. Alleiniges Kriterium bei der Begutachtung der Anträge ist wissenschaftliche Exzellenz. Mit den vom ERC bewilligten Mitteln in Höhe von einer Million Euro für die nächsten fünf Jahre will Möller seine Forschergruppe um vier Mitarbeiter erweitern.
Die vorliegende Dissertation analysiert Großinvestorhandelsstrategien in illiquiden Finanzmärkten. Ein Großinvestor beeinflusst die Preise der Wertpapiere, die er handelt, so dass der daraus resultierende Feedbackeffekt berücksichtigt werden muss. Der Preisprozess wird durch eine Familie von cadlag Semimartingalen modelliert, die in dem zusätzlichen Parameter stetig differenzierbar ist. Ziel ist es, eine möglichst allgemeine Strategiemenge zu bestimmen, für die eine Vermögensdynamik definiert werden kann. Es sind dies vorhersehbare Prozesse von wohldefinierter quadratischer Variation entlang Stoppzeiten. Sie erweisen sich als laglad. Die Vermögensdynamikzerlegung zeigt, dass bei stetigen adaptierten Strategien von endlicher Variation (zahme Strategien) die quadratischen Transaktionskostenterme verschwinden und der Gewinnprozess nur noch aus einem nichtlinearen stochastischen Integral besteht. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen gewisse Approximationen vorhersehbarer laglad Strategien durch adaptierte stetige Strategien von endlicher Variation möglich sind. Im Fall, dass der Approximationsfehler für die Risikoeinstellung des Großinvestors erträglich ist, kann er seine Investmentziele durch Verwendung dieser zahmen Strategien, Liquiditätskosten vermeidend, erreichen. In diesem Fall ist der Gewinnprozess durch das nicht-lineare stochastische Integral gegeben.
The Benchmark Dose (BMD) approach, which was suggested firstly in 1984 by K. Crump [CRUMP (1984)], is a widely used instrument in risk assessment of substances in the environment and in food. In this context, the BMD approach determines a reference point (RfP) on the statistically estimated dose-response curve, for which the risk can be determined with adequate certainty and confidence. In the next step of risk characterization a threshold is calculated, based on this RfP and toxicological considerations. The BMD approach bases upon the fit of a dose-response model on the data. For this fit a stochastic distribution of the response endpoint is taken as a basis. Ultimately, the BMD reflects the dose for which a pre-specified increase in an adverse health effect (the benchmark response) can be expected. Until now, the BMD approach has been specified only for quantal and continuous endpoints. But in risk assessment of carcinogens especially so called time-to-event data are of high interest since they contain more information on the tumor development than quantal incidence data. The goal of this diploma thesis was to extend the BMD approach to such time-to-event data.
We presented a proof for the classical stable limit laws under use of contraction method in combination with the Zolotarev metric. Furthermore, a stable limit law was proved for scaled sums of growing into sequences. This limit law was alternatively formulated for sequences of random variables defined by a simple degenerate recursion.
The purpose of the present paper is to explain the fake projective plane constructed by J. H. Keum from the point of view of arithmetic ball quotients. Beside the ball quotient associated with the fake projective plane, we also analize two further naturally related ball quotients whose minimal desingularizations lead to two elliptic surfaces, one already considered by J. H. Keum as well as the one constructed by M. N. Ishida in terms of p-adic uniformization.
2000 Mathematics Subject Classification: 11F23,14J25,14J27
Neuronal activity in the brain is often investigated in the presence of stimuli, termed externally driven activity. This stimulus-response-perspective has long been focussed on in order to find out how the nervous system responds to different stimuli. The neuronal response consists of baseline activity, so called spontaneous activity1, and activity which is caused by the stimulus. The baseline activity is often considered as constant over time which allows the identification of the stimulus-evoked part of the neuronal response by averaging over a set of trials.
However, during the last years it has been recognized that own dynamics of the nervous system plays an important role in information processing. As a consequence, spontaneous activity is no longer regarded only as background ’noise’ and its role in cortical processing is reconsidered. Therefore, the study of spontaneous firing pattern gains more importance as these patterns may shape neuronal responses to a larger extent as previously thought. For example, recent findings suggest that prestimulus activity can predict a person’s visual perception performance on a single trial basis (Hanslmayr et al., 2007). In this context, Ringach (2009) remarks that one can learn much about even the quiescent state of the brain which “underlies the importance of understanding cortical responses as the fusion of ongoing activity and sensory input”.
Taking into account that spontaneous activity reflects anything else but noise, new challenges arise when analysing neuronal data. In this thesis one of these problems related to the analysis of neuronal activity will be adressed, namely the nonstationarity of firing rates.
The present work consists of four chapters. First of all the introduction gives neurophysiological background information to get an idea of neuronal information processing. Afterwords the theory of point processes is provided which forms the basis for modeling neuronal spiking data. In the last section of the introduction a statement of the problem is given. Chapter 2 proposes an easily applicable statistical method for the detection of nonstationarity. It is applied to simulations and to real data in order to show its capabilities. Thereafter, four other approaches are presented which provide useful illustrations concerning the nonstationarity of the firing rate but share the problem that one cannot make objective statements on the basis of their results. They were developed in the course of establishing a suitable method. In chapter 4 the results are discussed and suggestions for further study are given.
Dessins d'enfants (children's drawings) may be defined as hypermaps, i.e. as bipartite graphs embedded in compact Riemann surfaces. They are very important objects in order to describe the surface of the embedding as an algebraic curve. Knowing the combinatorial properties of the dessin may, in fact, help us determining defining equations or the field of definition of the surface. This task is easier if the automorphism group of the dessin is "large". In this thesis we consider a special type of dessins, so-called Wada dessins, for which the underlying graph illustrates the incidence structure of points and of hyperplanes of projective spaces. We determine under which conditions they have a large orientation-preserving automorphism group. We show that applying algebraic operations called "mock" Wilson operations to the underlying graph we may obtain new dessins. We study the automorphism group of the new dessins and we show that the dessins we started with are coverings of the new ones.