Mathematik
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Der Begriff der editierfreundlichen Kryptographie wurde von Mihir Bellare, Oded Goldreich und Shafi Goldwasser 1994 bzw. 1995 eingeführt. Mit einem editierfreundlicher Verschlüsselungs- oder Unterschriftenverfahren kann man aus einer Verschlüsselung bzw. Unterschrift zu einer Nachricht schnell eine Verschlüsselung oder Unterschrift zu einer ähnlichen Nachricht erstellen. Wir geben eine Übersicht über die bekannten editierfreundlichen Verfahren und entwickeln sowohl ein symmetrisches als auch ein asymmetrisches editierfreundliches Unterschriftenverfahren (IncXMACC und IncHSig). Wir zeigen, wie man mit editierfreundlichen Schemata überprüfen kann, ob die Implementierung einer Datenstruktur korrekt arbeitet. Basierend auf den Ideen der editierfreundlichen Kryptographie entwickeln wir effiziente Verfahren für spezielle Datenstrukturen. Diese Ergebnisse sind in zwei Arbeiten [F97a, F97b] zusammengefaßt worden.
Eine nichtgeometrische Konstruktion der Spektren P(n) und multiplikative Automorphismen von K(n)
(1995)
Ziel dieser Arbeit war es, ein sicheres und trotzdem effizientes Preprocessing zu finden. Nach den zurückliegenden Untersuchungen können wir annehmen, dies erreicht zu haben. Wir haben gezeigt, daß eine minimale Workload von Attacken von 272 mit nur 16 Multiplikationen pro Runde und 13 gespeicherten Paaren (ri, xi) erreicht werden kann. Mit der in Abschnitt 12.3 erklärten Variation - der Wert rº k geht nicht in die Gleichungen mit ein - erreichen wir sogar eine Sicherheit von 274. In diesem Fall können wir die Anzahl der gespeicherten Paare auf 12 verringern. Auch von der in Abschnit 12.5 besprochenen Variation erwarten wir eine Erhöhung der Sicherheit. Ergebnisse dazu werden bald vorliegen. Folgender Preprocessing Algorithmus erscheint z.B. nach unserem derzeitigen Wissensstand geeignet: Setze k = 12, l0 = 7, l1 = 3, d0 = 4, d1 = 5, h = 4, ¯h = 1. Initiation: lade k Paare (r0 0, x00 ) . . . , (r0 k 1, x0 k 1) mit x0i = ®r0 i mod p. º := 1. º ist die Rundennummer 1. Wähle l1 2 verschiedene Zufallszahlen a(3, º), . . . , a(l1, º) 2 {º + 1 mod k, . . . , º 2 mod k} a(1, º) := º mod k, a(2, º) := º 1 mod k W¨ahle l1 2 verschiedene Zufallszahlen f(3, º), . . . , f(l1, º) 2 {0, . . . , d1 1}, f(1, º) zuf¨allig aus {h, . . . , d1 1} und f(2, º) zuf¨allig aus {¯h, . . . , d1 1} rº k := rº ºmodk + l1 Xi=1 2f(i,º)rº 1 a(i,º) mod q xk = xºº modk · l1 Yi=1 (xº 1 a(i,º))2f(i,º) mod p 2. w¨ahle l0 1 verschiedene Zufallszahlen b(2, º), . . . , b(l0, º) 2 {º + 1 mod k, . . . , º 1 mod k} b(1, º) := º mod k W¨ahle l0 verschiedene Zufallszahlen g(1, º), . . . , g(l0, º) 2 {0, . . . , d0 1} rº ºmodk := l0 Xi=1 2g(i,º)rº 1 b(i,º) mod q xºº modk = l0 Yi=1 (xº 1 b(i,º))2g(i,º) mod p 3. verwende (rº k, xº k) f¨ur die º te Signatur (eº, yº) gem¨aß yº = rº k + seº mod q 4. º := º + 1 GOTO 1. f¨ur die n¨achste Signatur Die Zufallszahlen a(3, º), . . . , a(l, º), b(2, º), . . . , b(l, º), f(1, º), . . . , f(l, º) und g(1, º), . . . , g(l, º) werden unabhängig gewählt. Dies ist selbstverständlich nur ein Beispiel. Unsere Untersuchungen sind noch nicht abgeschlossen. Wir glauben aber nicht, daß feste Werte a(i, º) und b(i, º) ein effizientes Preprocessing definieren. Wir haben einige Variationen mit solchen weniger randomisierten Gleichungen studiert und immer effiziente Attacken gefunden.
Gitter sind diskrete additive Untergruppen des Rn. Praktische Bedeutung erlangte die Gittertheorie durch effziente Algorithmen zur Gitterbasenreduktion, mit deren Hilfe Optimierungsprobleme gelöst werden können. Der erste dieser Algorithmen wurde von Lenstra, Lenstra und Lovasz entwickelt. Schnorr und Euchner entwickelten effizientere Algorithmen. Sie untersuchten die Güte der Reduktion anhand von Rucksack-Problemen. Bei einem Rucksack-Problem der Dimension n müssen aus einer gegebenen Menge von n Gewichten diejenigen bestimmt werden, die zusammen einen gegeben Rucksack genau ausfüllen. Die Algorithmen von Schnorr und Euchner lösen fast alle Rucksack-Probleme der Dimensionen 42 bis 66. Meine neuen verbesserten Algorithmen lösen einen noch größeren Anteil der Rucksack-Probleme in kürzerer Rechenzeit. Gleichzeitig sind sie in Dimensionen 103 bis 151. Coster, Joux, LaMacchia. Odlyzko, Schnorr und Stern geben eine untere Schranke für die Größe der Gewichte von Rucksack-Problemen an, die fast immer gelöst werden können. Die Gewichte werden zufällig aus einem Intervall natüurlicher Zahlen gewählt. Dieses Ergebnis erweitere ich auf k-fache Rucksack-Probleme. Weiterhin kann für für die Wahl jedes Gewichtes eine beliebige Menge ganzer Zahlen festgelegt werden. Ebenso sind Mengen mit nur einem Element zulässig.
Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit stehen die Nullstellen der nach Bernhard Riemann benannten Riemannschen Zetafunktion ..(s). Diese Funktion kann für komplexes s mit Res > 1 durch ...(s) = 1 X n=1 1 ns (1.1.1) dargestellt werden. Für andere Werte von s ist ...(s) durch die analytische Fortsetzung der Dirichlet-Reihe in (1.1.1) gegeben. Die ...-Funktion ist in der ganzen komplexen Ebene holomorph, mit Ausnahme des Punktes s = 1, wo sie einen einfachen Pol besitzt. Diese und weitere Eigenschaften von ...(s) setzen wir in dieser Arbeit als bekannt voraus, näheres findet man beispielsweise in [Tit51] oder [Ivi85]. Bereits Euler betrachtete, beispielsweise in [Eul48, Caput XV], die Summe in (1.1.1), allerdings vor allem für ganzzahlige s ... 2. Von ihm stammt die Gleichung 1 X n=1 1 ns =.... die für alle komplexen s mit Res > 1 gültig ist. Dieser Zusammenhang zwischen der ...-Funktion und den Primzahlen war Ausgangspunkt für Riemanns einzige zahlentheoretische, aber dennoch wegweisende Arbeit \ Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." ([Rie59]). In dieser 1859 erschienenen Arbeit erkannte Riemann als erster die Bedeutung der Nullstellen der ...-Funktion für die Verteilung der Primzahlen. Bezüglich dieser Nullstellen sei jetzt nur so viel gesagt, daß ...(s) einfache Nullstellen an den negativen geraden Zahlen .... besitzt, und, daß alle weiteren, die sogenannten nicht-trivialen Nullstellen, im kritischen Streifen 0 < Res < 1 liegen. Diese letzteren | unendlich vielen | Nullstellen sind gerade für den Primzahlsatz, also für die Beziehung ...(x) ... li(x);