Mathematik
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Computer haben im Mathematik-Unterricht bisher vor allem die Funktion, Abstraktes bildlich zu veranschaulichen. Neu sind interaktive Programme, mit denen Schüler experimentieren und spielerisch ein Gefühl für Zusammenhänge entwickeln können. Erste Versuche zeigen, dass dieses Angebot, »Mathematik erfahrbar zu machen«, die Schüler stark motiviert. Computer sind wichtige Mittler zwischen der realen Welt und den Abstraktionen ihrer mathematischen Beschreibung. Denn: Mathematik wohnt den Dingen nicht inne, man sieht sie mit dem »mathematischen Blick« in die Dinge hinein. Erst dadurch gliedert sich der Raum um uns in Punkte, Strecken, Ebenen und all die anderen geometrischen Objekte. Diese Objekte selbst sind nicht real, und materielle Modelle, die wir zu ihrer Veranschaulichung heranziehen, unterliegen Einschränkungen, von denen man abstrahieren muss. Wir zeigen anhand zweier aktueller Entwicklungs- und Forschungsprojekte, wie Computer helfen können, diese Kluft zu überbrücken. ...
Im Zentrum dieser Arbeit steht die Operation der Gruppe Gamma:=SL_n(Z[1/m]) auf dem symmetrischen Raum M:=SL_n(R)/SO(n). Allgemeiner betrachten wir die Operation rho:Gamma->Isom(M) einer S-arithmetischen algebraischen Gruppe durch Isometrien auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Die symmetrischen Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Krümmung und daher insbesondere CAT(0)-Räume. R. Bieri und R. Geoghegan haben für die Operation rho:G->Isom(M) einer abstrakten Gruppe G auf einem CAT(0)-Raum M die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) als Teilmenge des Randes von M eingeführt (vgl. [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003]). Die Fokusierung, die durch die geometrischen Invarianten erreicht wird, hat sich in vielen Fällen bewährt, in denen eine Operation durch Translationen auf dem euklidischen Raum zur Verfügung steht. Über die Invarianten von anderen CAT(0)-Operationen ist noch wenig bekannt. In der vorliegenden Arbeit berechnen wir nun die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) für die oben erwähnte Operation rho der S-arithmetischen Gruppe Gamma auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Wir erhalten für die Gruppe SL_n(Z[1/m]) die folgende Invariante: Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M, falls k kleiner als s(n-1) ist; Sigma^k(rho) ist die Menge aller Randpunkte e von M, die nicht im Rand eines rational definierten flachen Unterraum von M liegen, falls k größer oder gleich s(n-1) ist. Hierbei ist s die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. Die obigen Resultate sind eine Verallgemeinerung derer in [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Controlled Connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. Der Beweis, den wir geben, besteht aus einer Vereinfachung des Beweises von Bieri und Geoghegan, die dann auf die allgemeinere Situation angepasst werden konnte. Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn wir für eine Operation rho auf M die Zahlen k betrachten, für die gilt: (*) Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M. Operiert die Gruppe Gamma mit diskreten Bahnen, dann ist (*) äquivalent zur Eigenschaft, daß die Punktstabilisatoren Gamma_a, für a aus M, vom Typ F_k sind. Die Eigenschaft (*) ist auch von Interesse für S-arithmetische Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe über einem Funktionenkörper. Wir zeigen, daß es hier eine naheliegende Operation rho' auf einem Bruhat-Tits Gebäude M' gibt, so daß Gamma' ein Punktstabilisator und damit die Eigenschaft (*) mit der Eigenschaft "Gamma' ist vom Typ F_k" zusammenfällt. Im Zahlkörperfall sind die Verhältnisse ganz anders. Unsere S-arithmetischen Gruppen operieren auf dem symmetrischen Raum M nicht mit diskreten Bahnen und sind durchwegs vom Typ F_k für alle k. Dagegen erlaubt unser Hauptresultat die Bestimmung der Zahlen k mit der Eigenschaft (*) und zeigt eine interessante Abhängigkeit von s=|S| und dem Rang r der algebraischen Gruppen (rho erfüllt (*) <=> k<rs). Das Hauptresultat wird außerdem nicht nur für SL_n(Q), sondern allgemeiner für Chevalley-Guppen über Q oder Q(i) gezeigt, so daß wir damit für eine Reihe von klassischen CAT(0)-Operationen die Invarianten Sigma^k(rho) bestimmt haben.
Rezension zu: George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagmorgen : 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-353-4 ; 240 Seiten, 26 Euro/38 CHF George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagnachmittag : Weitere 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-225-4 ; 236 Seiten, 26 Euro/38 CHF
Gleichgewichte auf Überschussmärkten : Theorie und Anwendbarkeit auf die Regelenergiezone der RWE
(2003)
Diese Version entspricht im wesentlichen der begutachteten Version bis auf die Kürzung von Satz 3.3.1 um einen für den Rest unbedeutenden Teil. Das Ziel folgender Arbeit ist es, mit einem intuitiven Ansatz eine spezielle Wettbewerbsform zweier interagierender Märkte zu modellieren und anschließend zu analysieren. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse mit den Beobachtungen an einem existierenden Markt - dem deutschen Energiemarkt - verglichen. In dieser behandelten Wettbewerbsform wird ein nicht lagerbares Gut an zwei aneinander gekoppelten Märkten gehandelt. Während Handel und Preisfindung am ersten Markt den üblichen Gepflogenheiten folgen, müssen alle Teilnehmer sämtliche Güter, welche nicht unmittelbar nach Lieferung verbraucht werden, am zweiten Marktplatz (dem Überschussmarkt) gegen ein gewisses Entgelt zur Verfügung stellen. Alle Teilnehmer, welche nicht genügend Güter am ersten Markt geordert haben, werden auf dem Überschussmarkt zu einem gewissen Preis mit der noch benötigten Menge versorgt. Einem Marketmaker auf dem zweiten Marktplatz fällt die Aufgabe zu, einen Preis festzustellen, zu dem diejenigen entschädigt werden, welche ihre Überschüsse zur Verfügung stellen müssen bzw. den diejenigen zu bezahlen haben, deren Gütermangel ausgeglichen wird. Weiterhin stellt dieser sicher, dass zu jedem Zeitpunkt genügend Güter vorhanden sind, so dass der Bedarf aller Teilnehmer zu jedem Zeitpunkt sichergestellt ist. Ziel ist es nun herauszufinden, welche gewinnmaximierenden Einkaufsstrategien die Marktteilnehmer verfolgen sollten und welche Konsequenzen sich daraus auf den deutschen Energiemarkt ableiten lassen.
Ein universeller zentraler Grenzwertsatz für den Abstand zweier Kugeln in zufälligen Splitbäumen
(2008)
In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell des zufälligen Splitbaumes untersucht. Dies ist ein verallgemeinertes Modell, das bei passender Wahl der zugehörigenParameter viele konkrete Suchbäume umfasst. Das Modell ist in der Arbeit von L. Devroye beschrieben: Nach einem zufallsbasierten Algorithmus werden den Knoten des Baumes Daten in Form von Kugeln hinzugefügt. Tiefe und Höhe sind dabei grundlegende Größen, die die Komplexität von Suchoperationen beschreiben, wenn das Suchbaummodell als Datenstruktur verwendet wird. Das Augenmerk der Arbeit richtet sich auf eine weitere entscheidende Größe: Den Abstand zweier rein zufällig gewählter Kugeln im Baum. Aufbauend auf Devroyes Erkenntnissen zum asymptotischen Verhalten der Tiefe der zuletzt eingefügten Kugel im Splitbaum, wird ein neues Resultat erzielt: Ein universeller Zentraler Grenzwertsatz für den Abstand der Kugeln. Als Anwendungsbeispiel werden zwei vom allgemeinen Modell abgedeckte Suchbäume betrachtet und der jeweilige Grenzwertsatz für die Abstände aus dem universellen Satz abgeleitet.
Wir behandeln Kettenbruchentwicklungen in beliebiger Dimension. Wir geben einen Kettenbruchalgorithmus an, der für beliebige Dimension n simultane diophantische Approximationen berechnet, die bis auf den Faktor 2 exp (n+2)/4 optimal sind. Für einen reellen Eingabevektor x := (x1,...,X n-1, 1) berechnet der Algorithmus eine Folge ganzzahliger Vektoren ....., so daß für i =1, ...., n-1 : | q exp (k) xi -pi exp (k)| <= 2 exp (n+2)/4 sqrt (1 + xi exp 2) / q exp (1/n-1). Nach Sätzen von Dirichlet und Borel ist die Schranke optimal in dem Sinne, als daß der Exponent 1/(n-1) im allgemeinen nicht erhöht werden kann. Der Algorithmus konstruiert eine Folge von Gitterbasen des Zn, welche die Gerade x R approximieren. Für gegebenes E > 0 findet der Algorithmus entweder eine Relation zu x, das heißt einen ganzzahligen zu x orthogonalen Vektor (ungleich Null), mit euklidischer Länge kleiner oder gleich E exp -1, oder er schließt Relationen zu x mit euklidischer Länge kleiner als E exp -1 aus. Der Algorithmus führt in der Dimension n und |log E| polynomial viele arithmetische Operationen auf rellen Zahlen in exakter Arithmetik aus. Für rationale Eingaben x := (p1, ....., pn)/pn, E>0 mit p1,.....,pn Teil von Z besitzt der Algorithmus polynomiale Bitkomplexität in O........ Eine Variante dieses Algorithmus konstruiert für Eingabevektoren x einen (von x nicht notwendigerweise verschiedenen) Nahebeipunkt x' zu x und eine kurze Relation zu x'. Im Falle x<>x können wir die Existenz von Relationen kleiner als (2E)exp -1 für Punkte in einer kleinen offenen Umgebung um x' ausschließen. Wir erhalten in diesem Sinne eine stetige untere Schranke für die Länge der kürzesten Relation zu Punkten in dieser Umgebung. Die für x' berechnete Relation ist bis auf einen in der Dimension n exponentiellen Faktor kürzeste Relation für x'. Zur Implementierung des Kettenbruchalgorithmus stellen wir ein numerisch stabiles Verfahren vor und berichten über experimentelle Ergebnisse. Wir geben untere Schranken für die Approximierbarkeit kürzester Relationen in der Maximum-Norm und minimaler diophantischer Approximationen an: Unter der Annahme, daß die Klasse NP nicht in der deterministischen Zeitklasse O(n exp poly log n) enthalten ist, zeigen wir: Es existiert kein Algorithmus, der für rationale Eingabevektoren x polynomial in der Bitlänge bin(x) von x ist und die in der Maximum-Norm kürzeste Relation bis auf einen Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) approximiert. Dabei ist zeta eine beliebig kleine positive Konstante. Wir übertragen dieses Resultat auf das Problem, zu gegebenen rationalen Zahlen x1,....,xn-1 und einem rationalen E > 0 gute simultane diophantische Approximationen zu finden, das heißt rationale Zahlen p1/q,...; (p n-1/)q mit möglichst kleinem Hauptnenner q zu konstruieren, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| <= E. Wir zeigen unter obiger Annahme, daß kein Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen x1,........,x n-1 und natürlicher Zahl N polynomial-Zeit in der Bitlänge bin(x) von x ist und simultane diophantische Approximationen berechnet, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| für q gehört zu [1, N] bis auf den Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) minimal ist. Hierbei ist zeta wieder eine beliebig kleine positive Konstante.
Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit Wachstum O(|Re z|^gamma), wobei gamma in R ist, im Unendlichen. Ein an das berühmte Phragmén-Lindelöf-Prinzip erinnerndes, einfaches analytisches Resultat bildet die Basis der Dualitätstheorie dieser Räume zu Funktionen mit festgelegtem Wachstumstyp. Wir studieren diese Dualität analytischer Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern gründlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln. Die für uns wichtigsten neuen Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind die von unendlichem Typ, das heißt solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In n Dimensionen benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow zur Charakterisierung von Testfunktionenräumen eingeführten Schemas der Räume S(alpha,beta) um verallgemeinerte Funktionen ist. Schließlich zeigen wir die Nuklearität der temperierten und asymptotischen Hyperfunktionen. Wir zeigen, daß die asymptotischen Hyperfunktionen genau die Klasse bilden, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Estradas Theorie ist damit ein Spezialfall der unsrigen. Für Hyperfunktionen lassen sich aber dank des Konzeptes der standard definierenden Funktionen die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen von analytischen Funktionen verstehen. Wir zeigen die einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten und benutzen dann ein Resultat von Estrada, um die Vollständigkeit unseres Moment-asymptotischen Schemas abzuleiten. Wir geben genaue Bedingungen für die Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger an, die kürzlich von Kim et al. gefunden wurden. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung zur Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir benutzen Kims Resultate, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden. Schließlich verwenden wir das Träger-Theorem der Radontransformation, um ein Resultat über das Singularitätenspektrum aus Bedingungen an die Radontransformierte abzuleiten.
In der vorliegenden Arbeit werden Aspekte autonomer und nichtautonomer dynamischer Systeme behandelt, wobei Attraktoren und verwandte Objekte eine wichtige Rolle spielen werden. Zunächst findet man in einem Kapitel über dynamische Systeme die Definition der grundlegenden Begriffe Attraktor, Repeller und Schiefproduktfluss, gefolgt von zwei hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Attraktoren. Mit den Attraktoren und Repellern können dann im nächsten Kapitel Morsemengen eingeführt werden. Dadurch kann das Verhalten eines dynamischen Systems qualitativ beschrieben werden. Des weiteren wird auf die Bedeutung der Kettenrekurrenzmenge für die Morsemengen eingegangen. Im Kapitel über Kontrolltheorie wird, nach einer kurzen Einführung in dieses Gebiet, gezeigt, dass der dort definierte Lift einer Kettenkontrollmenge unter gewissen Voraussetzungen eine Morsemenge ist. Im letzten Kapitel geht es um Pullback-Attraktoren, die unter den angegebenen Bedingungen als Attraktoren für den Schiefproduktfluss interpretiert werden können.
Informationsverarbeitung im Gehirn basiert auf dem koordinierten Zusammenwirken von Milliarden von Nervenzellen. Um diese Codes zu entschlüsseln, sind komplexe Verfahren experimenteller Datenerhebung und theoretischer Datenanalyse notwendig. Denn auch wenn alle Zellen im selben Rhythmus agieren, kann sich jede auf ihre Art am Konzert beteiligen. Die verschiedenen Stimmen äußern sich in zeitlichen Mustern, die sich experimentell kaum vom Rauschen unterscheiden lassen. Erst mithilfe statistischer Verfahren konnten winzige zeitliche Verzögerungen als nicht zufällig identifiziert werden.
In dem Artikel ,,Zur Axiomatik der Mengenlehre" habe ich die Axiome, die sich mit den Gebieten der Äquivalenz, der Mengenteilung und Mengenuergleichung beschäftigen, einer Erörterung unterzogen. An zwei Resultate dieses Artikels knüpfe ich hier an. Erstens einmal, da die in ihm durchgeführten Untersuchungen auf die Elemente der Mengen gar nicht eingehen, so stellen sie, allgemein gesprochen, axiomatische Betrachtungen über Größen und Größenbeziehungen dar, an denen die Mengen ja Teil haben; und zweitens hatte eine der dort analysierten Beziehungen den Gedanken nahegelegt, auch Größen entgegengesetzter Art (resp. Mengen von zweierlei Art von Elementen) in Betracht zu ziehen, und auf sie die oben genannten Operationen auszudehnen. Hier nun gebe ich im folgenden einige Ergänzungen. Bereits a. a. O.war bemerkt worden, daß es naturgemäß der Untersuchung bedarf, ob für die so charakterisierten Mengen die weiteren allgemeinen Sätze der Cantorschen Theorie in Kraft bleiben. Inzwischen hat mir Herr A. Fränkel mitgetelt, daß für das von mir konstruierte Beispiel schon ein Teil der in meinem Artikel zugrunde gelegten Axiome versagt; und zwar ein Teil der Axiome über Teilmengen. Über Teilmengen habe ich zwei Axiome an die Spitze gestellt. ......
Die Hilbertsche Grundlegung der Geometrie darf für alle analogen Untersuchungen als vorbildlich gelten. Zwei ihrer Eigenschaften sind es, auf die es hier ankommt. Erstens wird von allen sprachlichen Definitionen der Objekte, mit denen sie operiert, wie Punkt, Gerade, zwischen usw. abgesehen; nur ihre gegenseitigen Beziehungen und deren Grundgesetze werden axiomatisch an die Spitze gestellt. Zweitens werden die Axiome in verschiedene Gruppen gewisser Eigenart und Tragweite gespalten (die des Schneidens und Verbindens, die Axiome der Ordnung, der Kongruenz usw.), und es ist eine wesentliche Aufgabe des axiomatischen Aufbaues, zu prüfen, bis zu welchen Resultaten eine einzelne oder mehrere dieser Gruppen für sich führen. Die gleiche Behandlung eignet sich für die Mengenlehre. Von sprachlicher Einführung der Begriffe Menge, Bereich usw. ist daher ebenso abzusehen , wie von der des Punktes oder Raumes. Ebenso kann man hier gewiisse Axiomgruppen unterscheiden, die Axiome der Aquivalenz, die Axiome der Ordnung usw., und kann die gleichen Fragen stellen, wie im Gebiet der Geometrie. Dies soll im folgenden geschehen und zwar für denjenigen Teii, der nur mit dar Äquivalenz der Mengen, der Mengenteilung und Mengenverbindung, sowie der Mengenvergleichung operiert.....