Open Access

Wolf Hanno Rehn

• Im Zentrum dieser Arbeit steht die Operation der Gruppe Gamma:=SL_n(Z[1/m]) auf dem symmetrischen Raum M:=SL_n(R)/SO(n). Allgemeiner betrachten wir die Operation rho:Gamma->Isom(M) einer S-arithmetischen algebraischen Gruppe durch Isometrien auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Die symmetrischen Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Krümmung und daher insbesondere CAT(0)-Räume. R. Bieri und R. Geoghegan haben für die Operation rho:G->Isom(M) einer abstrakten Gruppe G auf einem CAT(0)-Raum M die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) als Teilmenge des Randes von M eingeführt (vgl. [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003]). Die Fokusierung, die durch die geometrischen Invarianten erreicht wird, hat sich in vielen Fällen bewährt, in denen eine Operation durch Translationen auf dem euklidischen Raum zur Verfügung steht. Über die Invarianten von anderen CAT(0)-Operationen ist noch wenig bekannt. In der vorliegenden Arbeit berechnen wir nun die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) für die oben erwähnte Operation rho der S-arithmetischen Gruppe Gamma auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Wir erhalten für die Gruppe SL_n(Z[1/m]) die folgende Invariante: Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M, falls k kleiner als s(n-1) ist; Sigma^k(rho) ist die Menge aller Randpunkte e von M, die nicht im Rand eines rational definierten flachen Unterraum von M liegen, falls k größer oder gleich s(n-1) ist. Hierbei ist s die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. Die obigen Resultate sind eine Verallgemeinerung derer in [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Controlled Connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. Der Beweis, den wir geben, besteht aus einer Vereinfachung des Beweises von Bieri und Geoghegan, die dann auf die allgemeinere Situation angepasst werden konnte. Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn wir für eine Operation rho auf M die Zahlen k betrachten, für die gilt: (*) Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M. Operiert die Gruppe Gamma mit diskreten Bahnen, dann ist (*) äquivalent zur Eigenschaft, daß die Punktstabilisatoren Gamma_a, für a aus M, vom Typ F_k sind. Die Eigenschaft (*) ist auch von Interesse für S-arithmetische Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe über einem Funktionenkörper. Wir zeigen, daß es hier eine naheliegende Operation rho' auf einem Bruhat-Tits Gebäude M' gibt, so daß Gamma' ein Punktstabilisator und damit die Eigenschaft (*) mit der Eigenschaft "Gamma' ist vom Typ F_k" zusammenfällt. Im Zahlkörperfall sind die Verhältnisse ganz anders. Unsere S-arithmetischen Gruppen operieren auf dem symmetrischen Raum M nicht mit diskreten Bahnen und sind durchwegs vom Typ F_k für alle k. Dagegen erlaubt unser Hauptresultat die Bestimmung der Zahlen k mit der Eigenschaft (*) und zeigt eine interessante Abhängigkeit von s=|S| und dem Rang r der algebraischen Gruppen (rho erfüllt (*) <=> k<rs). Das Hauptresultat wird außerdem nicht nur für SL_n(Q), sondern allgemeiner für Chevalley-Guppen über Q oder Q(i) gezeigt, so daß wir damit für eine Reihe von klassischen CAT(0)-Operationen die Invarianten Sigma^k(rho) bestimmt haben.
• In this paper, we study the action of the group Gamma:=SL_n(Z[1/m]) on the symmetric space M:=SL_n(R)/SO(n). More generally, we calculate the invariants of the action rho:Gamma->Isom(M) of an S-arithmetic algebraic group Gamma by isometries on the respective symmetric space M. Symmetric spaces are non positively curved Riemannian manifolds. In particular, they are CAT(0)spaces. In [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003] the geometric invariants Sigma^k(rho) are introduced. These are subsets of the boundary of M associated to the action rho:G->Isom(M) of an abstract group G on a CAT(0) space M. Focusing on the geometric invariants has proved very useful, particularly in examples, where the group acts by translations on some euklidian space M. But the invariants of other CAT(0) actions are still relatively unknown. In the present paper we study the action of an S-arithmetic group on its symmetric space, as mentioned above. With s for the total number of different prime divisors of some non zero integer m, we get the following result on the group SL_n(Z[1/m]): If k<s(n-1) holds, then Sigma^k(rho) is the whole boundary of M. If k>=s(n-1) holds, then Sigma^k(rho) is the set of all boundary points, which are not in the boundary of any rationally defined flat subspace of M. This is a generalisation of [R. Bieri and R. Geoghegan, Controlled connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. The results are proved by a simplification of their proof, which could be adapted to this more general setup. Given some integer k, it is interesting to observe the following property of a group action rho: (*) Sigma^k(rho) is the whole boundary of M. If the action of Gamma on M has discrete orbits, then we have (*) equivalent to the property "Gamma_x is of type F_k", for the stabilizer Gamma_x of some point x of M. This property is also intersting in the following case: Let Gamma' be an S-arithmetic subgroup of a linear algebraic group over a number field. We show that there is an obvious action rho' of Gamma' on some Bruhat-Tits building M', with Gamma' the stabilizer of some point of M'. Thus, here (*) is equivalent to "Gamma' is of type F_k". In the number field case, we have a totally different situtauion. There the S-arithmetic groups do not have discrete orbits in the symmetric space M and they are of type F_k for all k. Nevertheless we can apply our main result to this situation to determine for which k the property (*) holds. We observe again an interesting dependence on s=|S| and the rank of the group r (namely (*) holds <=> k<rs). Our main result is not only shown for SL_n(Q), but also for any Chevalley group over Q or Q(i). Thus it exhibits the invariants Sigma^n for many classical CAT(0)-actions.