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Bei der Untersuchung des Langzeitverhaltens von Verzweigungsprozessen und räumlich verzweigenden Populationen ist die Betrachtung von Stammbäumen zunehmend in den Vordergrund gerückt. Probabilistische Methoden haben die in der Theorie vorherrschenden analytischen Techniken ergänzt und zu wesentlichen neuen Einsichten geführt. Die vorliegende Synopse diskutiert eine Auswahl meiner Veröffentlichungen der letzten Jahre. Den Arbeiten ist gemeinsam, dass durch das Studium der genealogischen Verhältnisse in der Population Aussagen über deren Langzeitverhalten gewonnen werden konnten. Zwei dieser Arbeiten behandeln den klassischen Galton-Watson Prozess. Eine weitere Arbeit befasst sich mit Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung, sie ist technische wesentlich anspruchsvoller. Die vierte der hier besprochenen Arbeiten beschäftigt sich mit dem Wählermodell, einem der Prototypen interagierender Teilchensysteme.
We present a novel parallel one-more signature forgery against blind Okamoto-Schnorr and blind Schnorr signatures in which an attacker interacts some times with a legitimate signer and produces from these interactions signatures. Security against the new attack requires that the following ROS-problem is intractable: find an overdetermined, solvable system of linear equations modulo with random inhomogenities (right sides). There is an inherent weakness in the security result of POINTCHEVAL AND STERN. Theorem 26 [PS00] does not cover attacks with 4 parallel interactions for elliptic curves of order 2200. That would require the intractability of the ROS-problem, a plausible but novel complexity assumption. Conversely, assuming the intractability of the ROS-problem, we show that Schnorr signatures are secure in the random oracle and generic group model against the one-more signature forgery.
We present a practical algorithm that given an LLL-reduced lattice basis of dimension n, runs in time O(n3(k=6)k=4+n4) and approximates the length of the shortest, non-zero lattice vector to within a factor (k=6)n=(2k). This result is based on reasonable heuristics. Compared to previous practical algorithms the new method reduces the proven approximation factor achievable in a given time to less than its fourthth root. We also present a sieve algorithm inspired by Ajtai, Kumar, Sivakumar [AKS01].
Informally, commitment schemes can be described by lockable steely boxes. In the commitment phase, the sender puts a message into the box, locks the box and hands it over to the receiver. On one hand, the receiver does not learn anything about the message. On the other hand, the sender cannot change the message in the box anymore. In the decommitment phase the sender gives the receiver the key, and the receiver then opens the box and retrieves the message. One application of such schemes are digital auctions where each participant places his secret bid into a box and submits it to the auctioneer. In this thesis we investigate trapdoor commitment schemes. Following the abstract viewpoint of lockable boxes, a trapdoor commitment is a box with a tiny secret door. If someone knows the secret door, then this person is still able to change the committed message in the box, even after the commitment phase. Such trapdoors turn out to be very useful for the design of secure cryptographic protocols involving commitment schemes. In the first part of the thesis, we formally introduce trapdoor commitments and extend the notion to identity-based trapdoors, where trapdoors can only be used in connection with certain identities. We then recall the most popular constructions of ordinary trapdoor protocols and present new solutions for identity-based trapdoors. In the second part of the thesis, we show the usefulness of trapdoors in commitment schemes. Deploying trapdoors we construct efficient non-malleable commitment schemes which basically guarantee indepency of commitments. Furthermore, applying (identity-based) trapdoor commitments we secure well-known identification protocols against a new kind of attack. And finally, by means of trapdoors, we show how to construct composable commitment schemes that can be securely executed as subprotocols within complex protocols.
We propose a new security measure for commitment protocols, called Universally Composable (UC) Commitment. The measure guarantees that commitment protocols behave like an \ideal commitment service," even when concurrently composed with an arbitrary set of protocols. This is a strong guarantee: it implies that security is maintained even when an unbounded number of copies of the scheme are running concurrently, it implies non-malleability (not only with respect to other copies of the same protocol but even with respect to other protocols), it provides resilience to selective decommitment, and more. Unfortunately two-party uc commitment protocols do not exist in the plain model. However, we construct two-party uc commitment protocols, based on general complexity assumptions, in the common reference string model where all parties have access to a common string taken from a predetermined distribution. The protocols are non-interactive, in the sense that both the commitment and the opening phases consist of a single message from the committer to the receiver.
Based on the quadratic residuosity assumption we present a non-interactive crypto-computing protocol for the greater-than function, i.e., a non-interactive procedure between two parties such that only the relation of the parties' inputs is revealed. In comparison to previous solutions our protocol reduces the number of modular multiplications significantly. We also discuss applications to conditional oblivious transfer, private bidding and the millionaires' problem.
In dieser Arbeit werden Darstellungen der Artinschen Zopfgruppen als Gruppen von Automorphismen der Homologie iterativ konstruierter äquivarianter Kettenkomplexe betrachtet. Es werden azyklische Komplexe freier Moduln bzw. freie Auflösungen der ganzen Zahlen für nichtpermutierte Artinsche Zopfgruppen konstruiert, die als iterierte semidirekte Produkte freier Gruppen darstellbar sind. Als Tensorprodukte der freien Auflösungen mit Moduln zu den fraglichen iterierten semidirekten Produkten freier Gruppen erhält man äquivariante Komplexe, deren von Eigenschaften der Koeffizientenmoduln abhängige Homologiegruppen bestimmt werden. Diese Homologiegruppen erlauben Automorphismendarstellungen der (permutierten) Artinschen Zopfgruppe, die gewissermaßen die Artinschen Darstellungen als Automorphismengruppen freier Gruppen iterieren und linearisieren. Insbesondere werden Darstellungen gewonnen, die die bekannten Burau- und Gassner-Darstellungen der Zopfgruppen verallgemeinern und die als Monodromiegruppen verallgemeinerter hypergeometrischer Integrale interpretiert werden können.
Bipartite graphs occur in many parts of mathematics, and their embeddings into orientable compact surfaces are an old subject. A new interest comes from the fact that these embeddings give dessins d’enfants providing the surface with a unique structure as a Riemann surface and algebraic curve. In this paper, we study the (surprisingly many different) dessins coming from the graphs of finite cyclic projective planes. It turns out that all reasonable questions about these dessins — uniformity, regularity, automorphism groups, cartographic groups, defining equations of the algebraic curves, their fields of definition, Galois actions — depend on cyclic orderings of difference sets for the projective planes. We explain the interplay between number theoretic problems concerning these cyclic ordered difference sets and topological properties of the dessin like e.g. the Wada property that every vertex lies on the border of every cell.
Es wird eine Einführung in den Satz von Belyi und Grothendiecks Dessins d'enfants gegeben, hier Kinderzeichnungen genannt. Dieses Arbeitsgebiet ist in den letzten zwanzig Jahren entstanden und weist viele reizvolle Querverbindungen auf von der inversen Galoistheorie über die Teichm llerräume bis hin zur Mathematischen Physik. Das Schwergewicht des folgenden Beitrags liegt in den Beziehungen zu den Fuchsschen Gruppen und der Uniformisierungstheorie: Kinderzeichnungen bieten die Möglichkeit, für arithmetisch interessante Riemannsche Flächen - die als algebraische Kurven über Zahlkörpern definiert sind - Überlagerungsgruppen explizit zu beschreiben und umgekehrt aus gewissen Typen von Überlagerungsgruppen Kurvengleichungen zu gewinnen. Was hier aufgeschrieben ist, behandelt eigentlich nur bekanntes Material, gelegentlich mit neuen Beweisvarianten und Beispielen. Da aber noch keine zusammenfassende Einführung in das Thema existiert, hoffe ich, dass es als Vorlage für ein Seminar oder eine fortgeschrittene Vorlesung nützlich sein mag.
This thesis exhibits skeins based on the Homfly polynomial and their relations to Schur functions. The closures of skein-theoretic idempotents of the Hecke algebra are shown to be specializations of Schur functions. This result is applied to the calculation of the Homfly polynomial of the decorated Hopf link. A closed formula for these Homfly polynomials is given. Furthermore, the specialization of the variables to roots of unity is considered. The techniques are skein theory on the one side, and the theory of symmetric functions in the formulation of Schur functions on the other side. Many previously known results have been proved here by only using skein theory and without using knowledge about quantum groups.
This extended write-up of a talk gives an introductory survey of mathematical problems of the quantization of gauge systems. Using the Schwinger model as an exactly tractable but nontrivial example which exhibits general features of gauge quantum field theory, I cover the following subjects: The axiomatics of quantum field theory, formulation of quantum field theory in terms of Wightman functions, reconstruction of the state space, the local formulation of gauge theories, indefiniteness of the Wightman functions in general and in the special case of the Schwinger model, the state space of the Schwinger model, special features of the model. New results are contained in the Mathematical Appendix, where I consider in an abstract setting the Pontrjagin space structure of a special class of indefinite inner product spaces - the so called quasi-positive ones. This is motivated by the indefinite inner product space structure appearing in the above context and generalizes results of Morchio and Strocchi [J. Math. Phys. 31 (1990) 1467], and Dubin and Tarski [J. Math. Phys. 7 (1966) 574]. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Infinite Infrared Regularization and a State Space for the Heisenberg Algebra" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces".
We present an efficient variant of LLL-reduction of lattice bases in the sense of Lenstra, Lenstra, Lov´asz [LLL82]. We organize LLL-reduction in segments of size k. Local LLL-reduction of segments is done using local coordinates of dimension 2k. Strong segment LLL-reduction yields bases of the same quality as LLL-reduction but the reduction is n-times faster for lattices of dimension n. We extend segment LLL-reduction to iterated subsegments. The resulting reduction algorithm runs in O(n3 log n) arithmetic steps for integer lattices of dimension n with basis vectors of length 2O(n), compared to O(n5) steps for LLL-reduction.
Staatsexamensarbeit 2002. In der nachfolgenden Arbeit werde ich im zweiten Kapitel theoretisch fraktionale Ableitungen vorstellen, um dann im dritten Kapitel praktisch mit MAPLE fraktionale Ableitungen zu veranschaulichen. Genauso werde ich auch das Gebiet der fraktionalen Differentialgleichungen einführen, d.h. zuerst wird ein theoretischer Teil über Lösungsmethoden behandelt und darauf folgend ein praktischer Teil, in dem mittels MAPLE diverse Gleichungen gelöst werden. Das zweite Dokument enthält MAPLE Programme aus der Arbeit (ZIP-Format, 145154 Bytes).
The dynamical quantum Zeno effect is studied in the context of von Neumann algebras. It is shown that the Zeno dynamics coincides with the modular dynamics of a localized subalgebra. This relates the modular operator of that subalgebra to the modular operator of the original algebra by a variant of the Kato-Lie-Trotter product formula.
We reconsider estimates for the heat kernel on weighted graphs recently found by Metzger and Stollmann. In the case that the weights satisfy a positive lower bound as well as a finite upper bound, we obtain a specialized lower estimate and a proper generalization of a previous upper estimate. Reviews: Math. Rev. 1979406, Zbl. Math. 0934.46042
In der vorliegenden Arbeit werden Aspekte autonomer und nichtautonomer dynamischer Systeme behandelt, wobei Attraktoren und verwandte Objekte eine wichtige Rolle spielen werden. Zunächst findet man in einem Kapitel über dynamische Systeme die Definition der grundlegenden Begriffe Attraktor, Repeller und Schiefproduktfluss, gefolgt von zwei hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Attraktoren. Mit den Attraktoren und Repellern können dann im nächsten Kapitel Morsemengen eingeführt werden. Dadurch kann das Verhalten eines dynamischen Systems qualitativ beschrieben werden. Des weiteren wird auf die Bedeutung der Kettenrekurrenzmenge für die Morsemengen eingegangen. Im Kapitel über Kontrolltheorie wird, nach einer kurzen Einführung in dieses Gebiet, gezeigt, dass der dort definierte Lift einer Kettenkontrollmenge unter gewissen Voraussetzungen eine Morsemenge ist. Im letzten Kapitel geht es um Pullback-Attraktoren, die unter den angegebenen Bedingungen als Attraktoren für den Schiefproduktfluss interpretiert werden können.