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Bei der Untersuchung des Langzeitverhaltens von Verzweigungsprozessen und räumlich verzweigenden Populationen ist die Betrachtung von Stammbäumen zunehmend in den Vordergrund gerückt. Probabilistische Methoden haben die in der Theorie vorherrschenden analytischen Techniken ergänzt und zu wesentlichen neuen Einsichten geführt. Die vorliegende Synopse diskutiert eine Auswahl meiner Veröffentlichungen der letzten Jahre. Den Arbeiten ist gemeinsam, dass durch das Studium der genealogischen Verhältnisse in der Population Aussagen über deren Langzeitverhalten gewonnen werden konnten. Zwei dieser Arbeiten behandeln den klassischen Galton-Watson Prozess. Eine weitere Arbeit befasst sich mit Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung, sie ist technische wesentlich anspruchsvoller. Die vierte der hier besprochenen Arbeiten beschäftigt sich mit dem Wählermodell, einem der Prototypen interagierender Teilchensysteme.
We present a novel parallel one-more signature forgery against blind Okamoto-Schnorr and blind Schnorr signatures in which an attacker interacts some times with a legitimate signer and produces from these interactions signatures. Security against the new attack requires that the following ROS-problem is intractable: find an overdetermined, solvable system of linear equations modulo with random inhomogenities (right sides). There is an inherent weakness in the security result of POINTCHEVAL AND STERN. Theorem 26 [PS00] does not cover attacks with 4 parallel interactions for elliptic curves of order 2200. That would require the intractability of the ROS-problem, a plausible but novel complexity assumption. Conversely, assuming the intractability of the ROS-problem, we show that Schnorr signatures are secure in the random oracle and generic group model against the one-more signature forgery.
We present a practical algorithm that given an LLL-reduced lattice basis of dimension n, runs in time O(n3(k=6)k=4+n4) and approximates the length of the shortest, non-zero lattice vector to within a factor (k=6)n=(2k). This result is based on reasonable heuristics. Compared to previous practical algorithms the new method reduces the proven approximation factor achievable in a given time to less than its fourthth root. We also present a sieve algorithm inspired by Ajtai, Kumar, Sivakumar [AKS01].
Informally, commitment schemes can be described by lockable steely boxes. In the commitment phase, the sender puts a message into the box, locks the box and hands it over to the receiver. On one hand, the receiver does not learn anything about the message. On the other hand, the sender cannot change the message in the box anymore. In the decommitment phase the sender gives the receiver the key, and the receiver then opens the box and retrieves the message. One application of such schemes are digital auctions where each participant places his secret bid into a box and submits it to the auctioneer. In this thesis we investigate trapdoor commitment schemes. Following the abstract viewpoint of lockable boxes, a trapdoor commitment is a box with a tiny secret door. If someone knows the secret door, then this person is still able to change the committed message in the box, even after the commitment phase. Such trapdoors turn out to be very useful for the design of secure cryptographic protocols involving commitment schemes. In the first part of the thesis, we formally introduce trapdoor commitments and extend the notion to identity-based trapdoors, where trapdoors can only be used in connection with certain identities. We then recall the most popular constructions of ordinary trapdoor protocols and present new solutions for identity-based trapdoors. In the second part of the thesis, we show the usefulness of trapdoors in commitment schemes. Deploying trapdoors we construct efficient non-malleable commitment schemes which basically guarantee indepency of commitments. Furthermore, applying (identity-based) trapdoor commitments we secure well-known identification protocols against a new kind of attack. And finally, by means of trapdoors, we show how to construct composable commitment schemes that can be securely executed as subprotocols within complex protocols.
We propose a new security measure for commitment protocols, called Universally Composable (UC) Commitment. The measure guarantees that commitment protocols behave like an \ideal commitment service," even when concurrently composed with an arbitrary set of protocols. This is a strong guarantee: it implies that security is maintained even when an unbounded number of copies of the scheme are running concurrently, it implies non-malleability (not only with respect to other copies of the same protocol but even with respect to other protocols), it provides resilience to selective decommitment, and more. Unfortunately two-party uc commitment protocols do not exist in the plain model. However, we construct two-party uc commitment protocols, based on general complexity assumptions, in the common reference string model where all parties have access to a common string taken from a predetermined distribution. The protocols are non-interactive, in the sense that both the commitment and the opening phases consist of a single message from the committer to the receiver.
Based on the quadratic residuosity assumption we present a non-interactive crypto-computing protocol for the greater-than function, i.e., a non-interactive procedure between two parties such that only the relation of the parties' inputs is revealed. In comparison to previous solutions our protocol reduces the number of modular multiplications significantly. We also discuss applications to conditional oblivious transfer, private bidding and the millionaires' problem.
In dieser Arbeit werden Darstellungen der Artinschen Zopfgruppen als Gruppen von Automorphismen der Homologie iterativ konstruierter äquivarianter Kettenkomplexe betrachtet. Es werden azyklische Komplexe freier Moduln bzw. freie Auflösungen der ganzen Zahlen für nichtpermutierte Artinsche Zopfgruppen konstruiert, die als iterierte semidirekte Produkte freier Gruppen darstellbar sind. Als Tensorprodukte der freien Auflösungen mit Moduln zu den fraglichen iterierten semidirekten Produkten freier Gruppen erhält man äquivariante Komplexe, deren von Eigenschaften der Koeffizientenmoduln abhängige Homologiegruppen bestimmt werden. Diese Homologiegruppen erlauben Automorphismendarstellungen der (permutierten) Artinschen Zopfgruppe, die gewissermaßen die Artinschen Darstellungen als Automorphismengruppen freier Gruppen iterieren und linearisieren. Insbesondere werden Darstellungen gewonnen, die die bekannten Burau- und Gassner-Darstellungen der Zopfgruppen verallgemeinern und die als Monodromiegruppen verallgemeinerter hypergeometrischer Integrale interpretiert werden können.
Bipartite graphs occur in many parts of mathematics, and their embeddings into orientable compact surfaces are an old subject. A new interest comes from the fact that these embeddings give dessins d’enfants providing the surface with a unique structure as a Riemann surface and algebraic curve. In this paper, we study the (surprisingly many different) dessins coming from the graphs of finite cyclic projective planes. It turns out that all reasonable questions about these dessins — uniformity, regularity, automorphism groups, cartographic groups, defining equations of the algebraic curves, their fields of definition, Galois actions — depend on cyclic orderings of difference sets for the projective planes. We explain the interplay between number theoretic problems concerning these cyclic ordered difference sets and topological properties of the dessin like e.g. the Wada property that every vertex lies on the border of every cell.
Es wird eine Einführung in den Satz von Belyi und Grothendiecks Dessins d'enfants gegeben, hier Kinderzeichnungen genannt. Dieses Arbeitsgebiet ist in den letzten zwanzig Jahren entstanden und weist viele reizvolle Querverbindungen auf von der inversen Galoistheorie über die Teichm llerräume bis hin zur Mathematischen Physik. Das Schwergewicht des folgenden Beitrags liegt in den Beziehungen zu den Fuchsschen Gruppen und der Uniformisierungstheorie: Kinderzeichnungen bieten die Möglichkeit, für arithmetisch interessante Riemannsche Flächen - die als algebraische Kurven über Zahlkörpern definiert sind - Überlagerungsgruppen explizit zu beschreiben und umgekehrt aus gewissen Typen von Überlagerungsgruppen Kurvengleichungen zu gewinnen. Was hier aufgeschrieben ist, behandelt eigentlich nur bekanntes Material, gelegentlich mit neuen Beweisvarianten und Beispielen. Da aber noch keine zusammenfassende Einführung in das Thema existiert, hoffe ich, dass es als Vorlage für ein Seminar oder eine fortgeschrittene Vorlesung nützlich sein mag.
This thesis exhibits skeins based on the Homfly polynomial and their relations to Schur functions. The closures of skein-theoretic idempotents of the Hecke algebra are shown to be specializations of Schur functions. This result is applied to the calculation of the Homfly polynomial of the decorated Hopf link. A closed formula for these Homfly polynomials is given. Furthermore, the specialization of the variables to roots of unity is considered. The techniques are skein theory on the one side, and the theory of symmetric functions in the formulation of Schur functions on the other side. Many previously known results have been proved here by only using skein theory and without using knowledge about quantum groups.
This extended write-up of a talk gives an introductory survey of mathematical problems of the quantization of gauge systems. Using the Schwinger model as an exactly tractable but nontrivial example which exhibits general features of gauge quantum field theory, I cover the following subjects: The axiomatics of quantum field theory, formulation of quantum field theory in terms of Wightman functions, reconstruction of the state space, the local formulation of gauge theories, indefiniteness of the Wightman functions in general and in the special case of the Schwinger model, the state space of the Schwinger model, special features of the model. New results are contained in the Mathematical Appendix, where I consider in an abstract setting the Pontrjagin space structure of a special class of indefinite inner product spaces - the so called quasi-positive ones. This is motivated by the indefinite inner product space structure appearing in the above context and generalizes results of Morchio and Strocchi [J. Math. Phys. 31 (1990) 1467], and Dubin and Tarski [J. Math. Phys. 7 (1966) 574]. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Infinite Infrared Regularization and a State Space for the Heisenberg Algebra" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces".
We present an efficient variant of LLL-reduction of lattice bases in the sense of Lenstra, Lenstra, Lov´asz [LLL82]. We organize LLL-reduction in segments of size k. Local LLL-reduction of segments is done using local coordinates of dimension 2k. Strong segment LLL-reduction yields bases of the same quality as LLL-reduction but the reduction is n-times faster for lattices of dimension n. We extend segment LLL-reduction to iterated subsegments. The resulting reduction algorithm runs in O(n3 log n) arithmetic steps for integer lattices of dimension n with basis vectors of length 2O(n), compared to O(n5) steps for LLL-reduction.
Staatsexamensarbeit 2002. In der nachfolgenden Arbeit werde ich im zweiten Kapitel theoretisch fraktionale Ableitungen vorstellen, um dann im dritten Kapitel praktisch mit MAPLE fraktionale Ableitungen zu veranschaulichen. Genauso werde ich auch das Gebiet der fraktionalen Differentialgleichungen einführen, d.h. zuerst wird ein theoretischer Teil über Lösungsmethoden behandelt und darauf folgend ein praktischer Teil, in dem mittels MAPLE diverse Gleichungen gelöst werden. Das zweite Dokument enthält MAPLE Programme aus der Arbeit (ZIP-Format, 145154 Bytes).
The dynamical quantum Zeno effect is studied in the context of von Neumann algebras. It is shown that the Zeno dynamics coincides with the modular dynamics of a localized subalgebra. This relates the modular operator of that subalgebra to the modular operator of the original algebra by a variant of the Kato-Lie-Trotter product formula.
We reconsider estimates for the heat kernel on weighted graphs recently found by Metzger and Stollmann. In the case that the weights satisfy a positive lower bound as well as a finite upper bound, we obtain a specialized lower estimate and a proper generalization of a previous upper estimate. Reviews: Math. Rev. 1979406, Zbl. Math. 0934.46042
In der vorliegenden Arbeit werden Aspekte autonomer und nichtautonomer dynamischer Systeme behandelt, wobei Attraktoren und verwandte Objekte eine wichtige Rolle spielen werden. Zunächst findet man in einem Kapitel über dynamische Systeme die Definition der grundlegenden Begriffe Attraktor, Repeller und Schiefproduktfluss, gefolgt von zwei hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Attraktoren. Mit den Attraktoren und Repellern können dann im nächsten Kapitel Morsemengen eingeführt werden. Dadurch kann das Verhalten eines dynamischen Systems qualitativ beschrieben werden. Des weiteren wird auf die Bedeutung der Kettenrekurrenzmenge für die Morsemengen eingegangen. Im Kapitel über Kontrolltheorie wird, nach einer kurzen Einführung in dieses Gebiet, gezeigt, dass der dort definierte Lift einer Kettenkontrollmenge unter gewissen Voraussetzungen eine Morsemenge ist. Im letzten Kapitel geht es um Pullback-Attraktoren, die unter den angegebenen Bedingungen als Attraktoren für den Schiefproduktfluss interpretiert werden können.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Ermittlung des Preises von Optionen. Optionen sind spezielle Derivate, die wiederum Hull in seinem Buch definiert als: Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert von einem anderen, einfacheren zu Grunde liegenden Finanzinstrument (underlying) abhängt . Ein underlying kann unter anderem auch eine Anleihe, eine Aktie oder der Umtauschkurs zweier Währungen sein....
We show that P(n)*(P(n)) for p = 2 with its geometrically induced structure maps is not an Hopf algebroid because neither the augmentation Epsilon nor the coproduct Delta are multiplicative. As a consequence the algebra structure of P(n)*(P(n)) is slightly different from what was supposed to be the case. We give formulas for Epsilon(xy) and Delta(xy) and show that the inversion of the formal group of P(n) is induced by an antimultiplicative involution Xi : P(n) -> P(n). Some consequences for multiplicative and antimultiplicative automorphisms of K(n) for p = 2 are also discussed.
We show that non-interactive statistically-secret bit commitment cannot be constructed from arbitrary black-box one-to-one trapdoor functions and thus from general public-key cryptosystems. Reducing the problems of non-interactive crypto-computing, rerandomizable encryption, and non-interactive statistically-sender-private oblivious transfer and low-communication private information retrieval to such commitment schemes, it follows that these primitives are neither constructible from one-to-one trapdoor functions and public-key encryption in general. Furthermore, our separation sheds some light on statistical zeroknowledge proofs. There is an oracle relative to which one-to-one trapdoor functions and one-way permutations exist, while the class of promise problems with statistical zero-knowledge proofs collapses in P. This indicates that nontrivial problems with statistical zero-knowledge proofs require more than (trapdoor) one-wayness.
We review the representation problem based on factoring and show that this problem gives rise to alternative solutions to a lot of cryptographic protocols in the literature. And, while the solutions so far usually either rely on the RSA problem or the intractability of factoring integers of a special form (e.g., Blum integers), the solutions here work with the most general factoring assumption. Protocols we discuss include identification schemes secure against parallel attacks, secure signatures, blind signatures and (non-malleable) commitments.
Motivation: The topic of this paper is the estimation of alignments and mutation rates based on stochastic sequence-evolution models that allow insertions and deletions of subsequences ("fragments") and not just single bases. The model we propose is a variant of a model introduced by Thorne, Kishino, and Felsenstein (1992). The computational tractability of the model depends on certain restrictions in the insertion/deletion process; possible effects we discuss.
Results: The process of fragment insertion and deletion in the sequence-evolution model induces a hidden Markov structure at the level of alignments and thus makes possible efficient statistical alignment algorithms. As an example we apply a sampling procedure to assess the variability in alignment and mutation parameter estimates for HVR1 sequences of human and orangutan, improving results of previous work. Simulation studies give evidence that estimation methods based on the proposed model also give satisfactory results when applied to data for which the restrictions in the insertion/deletion process do not hold.
Availability: The source code of the software for sampling alignments and mutation rates for a pair of DNA sequences according to the fragment insertion and deletion model is freely available from www.math.uni-frankfurt.de/~stoch/software/mcmcsalut under the terms of the GNU public license (GPL, 2000).
Okamoto (Crypto 1992) hat die RSA-Repräsentation als Basis eines gegen aktive Angreifer sicheren Identifikationsschemas eingeführt. Eine RSA- Repräsentation von X E Z * N ist ein Paar (x; r) E Z e x Z * N mit X = g x r e (mod N) für vorgegebenes g E ZN , RSA-Modul N und primen RSA- Exponenten e. Das zugehörige Repräsentationsproblem, also das Auffinden eines Wertes X samt zweier verschiedener Darstellungen, ist äquivalent zum RSA-Problem, der Berechnung einer e-ten Wurzel von g modulo N . Von Brassard, Chaum und Crépeau (Journal Computing System Science, 1988) sowie Damgard (Journal of Cryptology, 1995) stammt eine analoge Konstruktion der Form X = g x r 2 t (mod N) mit x E Z 2 t für den Spezialfall der Blum-Zahlen als Modul N und gegebenes t größer gleich 1, wo die Möglichkeit, zwei verschiedene Repräsentationen zu berechnen, gleichbedeutend zur Zerlegung des Moduls in die Primfaktoren ist. Im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit verallgemeinern wir dieses Konzept systematisch auf beliebige (RSA-)Module durch die Einführung eines Anpassungsparameters r:= r (N ), so dass X = g x r 2 r t (mod N) mit x E Z 2 t. Basierend auf dieser als Faktorisierungsrepräsentation bezeichneten Darstellung leiten wir Identifikations-, Signatur- und Blinde-Unterschriften-Verfahren her. Im zweiten Teil verwenden wir sowohl RSA- als auch Faktorisierungsrepräsentation als Grundlage sogenannter non-malleable Commitment-Schemata zur Hinterlegung (Verbriefung) einer geheimen Nachricht. Bei dem von Dolev, Dwork und Naor (SIAM Journal on Computing, 2000) eingeführten Begriff der Non-Malleability soll ein Angreifer außer Stande sein, die Hinterlegung einer Nachricht m so abzuändern, dass er diese später dann mit einem in Relation zu m stehenden Wert, man denke zum Beispiel an m 1, aufdecken kann. Von Dolev, Dwork und Naor stammt ein allgemeiner Ansatz zur Konstruktion von non-malleable Commitment-Schemata aufbauend auf einem sogenannten Knowledge-Extraktor. Für die RSA-Darstellung verfügt das von Okamoto entworfene Protokoll als Proof-Of-Knowledge über einen solchen Extraktor, bei dem im Fall der Faktorisierungsrepräsentation von uns entwickelten Verfahren fehlt allerdings der Extraktor. Aus diesem Grund stellen wir mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes ein neues, auf Commitments zugeschnittenes Protokoll mit Knowledge-Extraktor vor, das in Verbindung mit der Faktorisierungsrepräsentation ein effizientes Hinterlegungsschema ergibt. Zum Abschluß wird bei einem Commitment- Verfahren mit abgeschwächter Non-Malleability-Eigenschaft von Di Crescenzo, Katz, Ostrovsky und Smith (Eurocrypt 2001) die RSA- durch die Faktorisierungsrepräsentation ersetzt und das Schema vereinfacht.
Ein Mathematiker mit universalem Anspruch : über Max Dehn und sein Wirken am Mathematischen Seminar
(2002)
Für eine erste Blüte der Mathematik in Frankfurt gab Max Dehn (1878 –1952) in den Jahren ab 1921 bis 1935 entscheidende Impulse. Seine völlig neuen Ideen zur Knotentheorie und zur Topologie beeinflussten die Entwicklung der Mathematik weit über Deutschland hinaus. 1935 fand sein Wirken in Frankfurt durch den Terror der Nationalsozialisten ein jähes Ende. Nach einer gefahrvollen Flucht über Norwegen, Finnland, die Sowjetunion und Japan erreichte Dehn schließlich, 62-jährig, die Vereinigten Staaten von Nordamerika. Eine seinen Fähigkeiten entsprechende Stellung konnte er dort nicht mehr erlangen. Sein fünfzigster Todestag in diesem Jahr ist Anlass für diese Rückschau.
The synchronization of neuronal firing activity is considered an important mechanism in cortical information processing. The tendency of multiple neurons to synchronize their joint firing activity can be investigated with the 'unitary event' analysis (Grün, 1996). This method is based on the nullhypothesis of independent Bernoulli processes and can therefore not tell whether coincidences observed between more than two processes can be considered "genuine" higher- order coincidences or whether they might be caused by coincidences of lower order that coincide by chance ("chance coincidences"). In order to distinguish between genuine and chance coincidences, a parametric model of independent interaction processes (MIIP) is presented. In the framework of this model, Maximum-Likelihood estimates are derived for the firing rates of n single processes and for the rates with which genuine higher order correlations occur. The asymptotic normality of these estimates is used to derive their asymptotic variance and in order to investigate whether higher order coincidences can be considered genuine or whether they can be explained by chance coincidences. The empirical test power of this procedure for n=2 and n=3 processes and for finite analysis windows is derived with simulations and compared to the asymptotic values. Finally, the model is extended in order to allow for the analysis of correlations that are caused by jittered coincidences.
We consider the long-time behaviour of spatially extended random populations with locally dependent branching. We treat two classes of models: 1) Systems of continuous-time random walks on the d-dimensional grid with state dependent branching rate. While there are k particles at a given site, a branching event occurs there at rate s(k), and one of the particles is replaced by a random number of offspring (according to a fixed distribution with mean 1 and finite variance). 2) Discrete-time systems of branching random walks in random environment. Given a space-time i.i.d. field of random offspring distributions, all particles act independently, the offspring law of a given particle depending on its position and generation. The mean number of children per individual, averaged over the random environment, equals one The long-time behaviour is determined by the interplay of the motion and the branching mechanism: In the case of recurrent symmetrised individual motion, systems of the second type become locally extinct. We prove a comparison theorem for convex functionals of systems of type one which implies that these systems also become locally extinct in this case, provided that the branching rate function grows at least linearly. Furthermore, the analysis of a caricature model leads to the conjecture that local extinction prevails generically in this case. In the case of transient symmetrised individual motion the picture is more complex: Branching random walks with state dependent branching rate converge towards a non-trivial equilibrium, which preserves the initial intensity, whenever the branching rate function grows subquadratically. Systems of type 1) and systems of type 2) with quadratic branching rate function show very similar behaviour. They converge towards a non-trivial equilibrium if a conditional exponential moment of the collision time of two random walks of an order that reflects the variability in the branching mechanism is finite almost surely. The equilibrium population has finite variance of the local particle number if the corresponding unconditional exponential moment is finite. These results are proved by means of genealogical representations of the locally size-biased population. Furthermore, we compute the threshold values for existence of conditional exponential moments of the collision time of two random walks in terms of the entropy of the transition functions, using tools from large deviations theory. Our results prove in particular that - in contrast to the classical case of independent branching - there is a regime of equilibria with variance of the local number of particles.
Große Stammbäume
(2003)
Sei T ein kritischer oder subkritischer Galton-Watson Stammbaum (GW-Baum) mit einer Kinderzahlverteilung endlicher oder unendlicher Varianz. Wir sind an der Struktur von T , bedingt darauf, dass T "groß" ist, interessiert. Der klassische sowie naheliegende Zugang ist, T auf eine große Gesamtgröße oder eine große Höhe zu bedingen. In dieser Arbeit werden drei, zum GW-Baum eng verwandte Typen von zufälligen Stammbäumen vorgestellt, deren Analyse aufschlussreiche Einsichten über große GW-Stammbäume liefert. Zur Untersuchung dieser auf große Gesamtgröße bedingten Stammbäume schlagen wir eine Familie von zufälligen, größenverzerrten Bäumen vor, deren auf Größe bedingte Verteilung mit der des, auf gegebener Größe bedingten, Baumes T übereinstimmt. Diese zufälligen Stammbäume besitzen eine einfache probabilistische Struktur, wenn man sie entlang der Ahnenlinien von rein zufällig gezogenen Knoten zerlegt. Die Verwandschaftsstruktur des von den gezogenen Knoten und der Wurzel aufgespannten Teilbaumes hängt im wesentlichen von dem asymptotischen Verhalten der Kinderzahlverteilung ab. Während bei endlicher Varianz diese Teilbäume asymptotisch binär sind, können bei unendlicher Varianz im Limes auch andere Formen auftreten. Wir zeigen, dass diese Teilbäume GW-Bäume bedingt auf ihre Gesamtblätterzahl sind. Mit Hilfe der Zerlegung entlang der Ahnenlinien erhalten wir zudem einen Grenzwertsatz für die reskalierte Gesamtgröße des Baumes mit einer Gamma-Verteilung als Limes. Die Analyse großer Bäume führen wir unter dem Aspekt des Größenverzerrens fort, indem wir eine weitere Familie zufälliger Bäume vorschlagen. Diese erhalten wir durch Größenverzerrung in der n-ten Generationsgröße. Wir werden sehen, dass der dadurch gewonnene zufällige Stammbaum eine ähnliche probabilistische Struktur wie der in der Gesamtgröße größenverzerrte Baum besitzt. Hier beweisen wir mit einfachen Überlegungen Aussagen über die Generation des jüngsten gemeinsamen Vorfahren (MRCA) von uniform aus Generation n gezogenen Knoten, sowie die Struktur des von diesen Knoten aufgespannten Skeletts. Schließlich betrachten wir die in [15] vorgestellte probabilistische Zerlegung des auf Mindesthöhe n bedingten GW-Baumes. Damit werden wir klassische Sätze über die Höhe des MRCA und die Grenzverteilung der reskalierten n-ten Generationsgröße für den Fall einer Kinderzahlverteilung mit unendlicher Varianz auf alternativem und anschaulichem Weg beweisen. Zudem erhalten wir eine Grenzverteilung für die Anzahl der Kinder des MRCA.
We present a method for the construction of a Krein space completion for spaces of test functions, equipped with an indefinite inner product induced by a kernel which is more singular than a distribution of finite order. This generalizes a regularization method for infrared singularities in quantum field theory, introduced by G. Morchio and F. Strocchi, to the case of singularites of infinite order. We give conditions for the possibility of this procedure in terms of local differential operators and the Gelfand-Shilov test function spaces, as well as an abstract sufficient condition. As a model case we construct a maximally positive definite state space for the Heisenberg algebra in the presence of an infinite infrared singularity. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey of the Schwinger Model" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces"
Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit Wachstum O(|Re z|^gamma), wobei gamma in R ist, im Unendlichen. Ein an das berühmte Phragmén-Lindelöf-Prinzip erinnerndes, einfaches analytisches Resultat bildet die Basis der Dualitätstheorie dieser Räume zu Funktionen mit festgelegtem Wachstumstyp. Wir studieren diese Dualität analytischer Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern gründlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln. Die für uns wichtigsten neuen Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind die von unendlichem Typ, das heißt solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In n Dimensionen benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow zur Charakterisierung von Testfunktionenräumen eingeführten Schemas der Räume S(alpha,beta) um verallgemeinerte Funktionen ist. Schließlich zeigen wir die Nuklearität der temperierten und asymptotischen Hyperfunktionen. Wir zeigen, daß die asymptotischen Hyperfunktionen genau die Klasse bilden, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Estradas Theorie ist damit ein Spezialfall der unsrigen. Für Hyperfunktionen lassen sich aber dank des Konzeptes der standard definierenden Funktionen die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen von analytischen Funktionen verstehen. Wir zeigen die einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten und benutzen dann ein Resultat von Estrada, um die Vollständigkeit unseres Moment-asymptotischen Schemas abzuleiten. Wir geben genaue Bedingungen für die Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger an, die kürzlich von Kim et al. gefunden wurden. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung zur Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir benutzen Kims Resultate, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden. Schließlich verwenden wir das Träger-Theorem der Radontransformation, um ein Resultat über das Singularitätenspektrum aus Bedingungen an die Radontransformierte abzuleiten.
We enhance the security of Schnorr blind signatures against the novel one-more-forgery of Schnorr [Sc01] andWagner [W02] which is possible even if the discrete logarithm is hard to compute. We show two limitations of this attack. Firstly, replacing the group G by the s-fold direct product G exp(×s) increases the work of the attack, for a given number of signer interactions, to the s-power while increasing the work of the blind signature protocol merely by a factor s. Secondly, we bound the number of additional signatures per signer interaction that can be forged effectively. That fraction of the additional forged signatures can be made arbitrarily small.
Gleichgewichte auf Überschussmärkten : Theorie und Anwendbarkeit auf die Regelenergiezone der RWE
(2003)
Diese Version entspricht im wesentlichen der begutachteten Version bis auf die Kürzung von Satz 3.3.1 um einen für den Rest unbedeutenden Teil. Das Ziel folgender Arbeit ist es, mit einem intuitiven Ansatz eine spezielle Wettbewerbsform zweier interagierender Märkte zu modellieren und anschließend zu analysieren. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse mit den Beobachtungen an einem existierenden Markt - dem deutschen Energiemarkt - verglichen. In dieser behandelten Wettbewerbsform wird ein nicht lagerbares Gut an zwei aneinander gekoppelten Märkten gehandelt. Während Handel und Preisfindung am ersten Markt den üblichen Gepflogenheiten folgen, müssen alle Teilnehmer sämtliche Güter, welche nicht unmittelbar nach Lieferung verbraucht werden, am zweiten Marktplatz (dem Überschussmarkt) gegen ein gewisses Entgelt zur Verfügung stellen. Alle Teilnehmer, welche nicht genügend Güter am ersten Markt geordert haben, werden auf dem Überschussmarkt zu einem gewissen Preis mit der noch benötigten Menge versorgt. Einem Marketmaker auf dem zweiten Marktplatz fällt die Aufgabe zu, einen Preis festzustellen, zu dem diejenigen entschädigt werden, welche ihre Überschüsse zur Verfügung stellen müssen bzw. den diejenigen zu bezahlen haben, deren Gütermangel ausgeglichen wird. Weiterhin stellt dieser sicher, dass zu jedem Zeitpunkt genügend Güter vorhanden sind, so dass der Bedarf aller Teilnehmer zu jedem Zeitpunkt sichergestellt ist. Ziel ist es nun herauszufinden, welche gewinnmaximierenden Einkaufsstrategien die Marktteilnehmer verfolgen sollten und welche Konsequenzen sich daraus auf den deutschen Energiemarkt ableiten lassen.
Presentation at the Università di Pisa, Pisa, Itlay 3 July 2002, the conference on Irreversible Quantum Dynamics', the Abdus Salam ICTP, Trieste, Italy, 29 July - 2 August 2002, and the University of Natal, Pietermaritzburg, South Africa, 14 May 2003. Version of 24 April 2003: examples added; 16 December 2002: revised; 12 Sptember 2002. See the corresponding papers "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras", "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics" and "Mathematics of the Quantum Zeno Effect"
Diese Arbeit beschäaftigt sich mit den Eigenschaften dynamischer Systeme, die in Form von autonomen Differentialgleichungen vorliegen. Genauer: Das Langzeitverhalten dieser dynamischen Systeme soll untersucht werden. Es läßtt sich beschreiben durch für das jeweilige System charakteristische Mengen, die attrahierenden Mengen und deren Einzugsbereiche. Attrahierende Mengen sind bezüglich eines dynamischen Systems invariante Mengen, die Trajektorien des dynamischen Systems, die in ihrer Umgebung starten, anziehen. Der Einzugsbereich einer attrahierenden Menge ist die Menge aller Punkte, die von der attrahierenden Menge angezogen werden. Betrachtet werden Systeme, die von einer Eingangsfunktion abhängen. Diese Eingangsfunktion kann je nach Zusammenhang eine Störung des dynamischen Systems oder eine Kontrolle desselben darstellen. Werden Störungen betrachtet, so sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die für alle Eingangsfunktionen gelten, zu untersuchen. Diese werden in dieser Arbeit als starke Eigenschaften bezeichnet. Werden Kontrollen betrachtet, sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die nur für mindestens eine Eingangsfunktion erfüllt sind, zu untersuchen. Sie werden hier als schwache Eigenschaften bezeichnet. Man betrachte beispielsweise einen Punkt, der zu einer invarianten Menge gehört. Zu jeder Eingangsfunktion gibt es eine zugehörige Trajektorie, die an diesem Punkt startet. Starke Invarianz bedeutet, daß keine dieser Trajektorien jemals die invariante Menge verläßt, schwache Invarianz, da mindestens eine dieser Trajektorien niemals die invariante Menge verläßt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der schwachen Einzugsbereiche. Sie lassen sich nur in Ausnahmefällen durch theoretische Überlegungen finden. Daher ist es von Nutzen, diese Mengen numerisch zu berechnen. Hier soll deshalb die benötigte Theorie bereitgestellt werden, um schwache Einzugsbereiche mit einem Unterteilungsalgorithmus anzunähern. Ein Unterteilungsalgorithmus dient allgemein dazu, innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge eine Menge, die eine bestimmte Eigenschaft hat, zu finden. Die Idee eines solchen Algorithmus ist es einfach, die Grundmenge in "Zellen" zu unterteilen und für jede dieser Zellen zu prüfen, ob sie ganz, gar nicht oder teilweise zur gesuchten Menge gehört. Gehört eine Zelle nur teilweise zur gesuchten Menge, so wird sie weiter unterteilt und für die "Teilzellen" erneut entschieden, ob sie zur gesuchten Menge gehören. Für die Berechnung eines schwachen Einzugsbereiches bedeutet dies, daß für jede Zelle überprüft werden muß, ob es eine Kontrollfunktion gibt, mit deren Hilfe Trajektorien der betrachteten Differentialgleichung, die innerhalb der Zelle starten, in eine gegebene schwach attrahierende Menge (bzw. eine passend gewählte Umgebung dieser Menge) gesteuert werden können.
We present a novel practical algorithm that given a lattice basis b1, ..., bn finds in O(n exp 2 *(k/6) exp (k/4)) average time a shorter vector than b1 provided that b1 is (k/6) exp (n/(2k)) times longer than the length of the shortest, nonzero lattice vector. We assume that the given basis b1, ..., bn has an orthogonal basis that is typical for worst case lattice bases. The new reduction method samples short lattice vectors in high dimensional sublattices, it advances in sporadic big jumps. It decreases the approximation factor achievable in a given time by known methods to less than its fourth-th root. We further speed up the new method by the simple and the general birthday method. n2
Sensitivity of output of a linear operator to its input can be quantified in various ways. In Control Theory, the input is usually interpreted as disturbance and the output is to be minimized in some sense. In stochastic worst-case design settings, the disturbance is considered random with imprecisely known probability distribution. The prior set of probability measures can be chosen so as to quantify how far the disturbance deviates from the white-noise hypothesis of Linear Quadratic Gaussian control. Such deviation can be measured by the minimal Kullback-Leibler informational divergence from the Gaussian distributions with zero mean and scalar covariance matrices. The resulting anisotropy functional is defined for finite power random vectors. Originally, anisotropy was introduced for directionally generic random vectors as the relative entropy of the normalized vector with respect to the uniform distribution on the unit sphere. The associated a-anisotropic norm of a matrix is then its maximum root mean square or average energy gain with respect to finite power or directionally generic inputs whose anisotropy is bounded above by a >= 0. We give a systematic comparison of the anisotropy functionals and the associated norms. These are considered for unboundedly growing fragments of homogeneous Gaussian random fields on multidimensional integer lattice to yield mean anisotropy. Correspondingly, the anisotropic norms of finite matrices are extended to bounded linear translation invariant operators over such fields.
We present a new self-contained and rigorous proof of the smoothness of invariant fiber bundles for dynamic equations on measure chains or time scales. Here, an invariant fiber bundle is the generalization of an invariant manifold to the nonautonomous case. Our main result generalizes the “Hadamard-Perron theorem” to the time-dependent, infinite-dimensional, noninvertible, and parameter-dependent case, where the linear part is not necessarily hyperbolic with variable growth rates. As a key feature, our proof works without using complicated technical tools.
Die in Englisch verfasste Dissertation, die unter der Betreuung von Herrn Prof. Dr. H. F. de Groote, Fachbereich Mathematik, entstand, ist der Mathematischen Physik zuzuordnen. Sie behandelt Stonesche Spektren von Neumannscher Algebren, observable Funktionen sowie einige Anwendungen in der Physik. Das abschließende Kapitel liefert eine Verallgemeinerung des Kochen-Specker-Theorems. Stonesche Spektren und observable Funktionen wurden von de Groote eingeführt. Das Stonesche Spektrum einer von Neumann-Algebra ist eine Verallgemeinerung des Gelfand-Spektrums, die observablen Funktionen verallgemeinern die Gelfand-Transformierten. Da de Grootes Ergebnisse zum großen Teil unveröffentlicht sind, folgt nach dem Einleitungskapitel im zweiten Kapitel eine Übersichtsdarstellung dieser Ergebnisse. Das dritte Kapitel behandelt die Stoneschen Spektren endlicher von Neumann-Algebren. Für Algebren vom Typ In wird eine vollständige Charakterisierung des Stoneschen Spektrums entwickelt. Zu Typ-II1-Algebren werden einige Resultate vorgestellt. Das vierte Kapitel liefert. einige einfache Anwendungen des Formalismus auf die Physik. Das fünfte Kapitel gibt erstmals einen funktionalanalytischen Beweis des Kochen-Specker-Theorems und liefert die Verallgemeinerung dieses Satzes, wobei die Situation für alle von Neumann-Algebren geklärt wird.
The Kochen-Specker theorem has been discussed intensely ever since its original proof in 1967. It is one of the central no-go theorems of quantum theory, showing the non-existence of a certain kind of hidden states models. In this paper, we first offer a new, non-combinatorial proof for quantum systems with a type I_n factor as algebra of observables, including I_infinity. Afterwards, we give a proof of the Kochen-Specker theorem for an arbitrary von Neumann algebra R without summands of types I_1 and I_2, using a known result on two-valued measures on the projection lattice P(R). Some connections with presheaf formulations as proposed by Isham and Butterfield are made.
We present an overview of the mathematics underlying the quantum Zeno effect. Classical, functional analytic results are put into perspective and compared with more recent ones. This yields some new insights into mathematical preconditions entailing the Zeno paradox, in particular a simplified proof of Misra's and Sudarshan's theorem. We empahsise the complex-analytic structures associated to the issue of existence of the Zeno dynamics. On grounds of the assembled material, we reason about possible future mathematical developments pertaining to the Zeno paradox and its counterpart, the anti-Zeno paradox, both of which seem to be close to complete characterisations. PACS-Klassifikation: 03.65.Xp, 03.65Db, 05.30.-d, 02.30.T . See the corresponding presentation: Schmidt, Andreas U.: "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras" and "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics"
We study the quantum Zeno effect in quantum statistical mechanics within the operator algebraic framework. We formulate a condition for the appearance of the effect in W*-dynamical systems, in terms of the short-time behaviour of the dynamics. Examples of quantum spin systems show that this condition can be effectively applied to quantum statistical mechanical models. Furthermore, we derive an explicit form of the Zeno generator, and use it to construct Gibbs equilibrium states for the Zeno dynamics. As a concrete example, we consider the X-Y model, for which we show that a frequent measurement at a microscopic level, e.g. a single lattice site, can produce a macroscopic effect in changing the global equilibrium. PACS - Klassifikation: 03.65.Xp, 05.30.-d, 02.30. See the corresponding papers: Schmidt, Andreas U.: "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras" and "Mathematics of the Quantum Zeno Effect" and the talk "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics" - http://publikationen.ub.uni-frankfurt.de/volltexte/2005/1167/
Die Arbeiten von Alexander Michailowitsch Lyapunov (1857-1918) waren der Anfangspunkt intensiver Erforschung des Stabilitätsverhaltens von Differentialgleichungen. In der vorliegenden Arbeit sollen Lyapunovfunktionen auf Zeitskalen in Bezug auf das Stabilitätsverhalten des homogenen linearen Systems x-delta = A(t)x untersucht werden.
We modify the concept of LLL-reduction of lattice bases in the sense of Lenstra, Lenstra, Lovasz [LLL82] towards a faster reduction algorithm. We organize LLL-reduction in segments of the basis. Our SLLL-bases approximate the successive minima of the lattice in nearly the same way as LLL-bases. For integer lattices of dimension n given by a basis of length 2exp(O(n)), SLLL-reduction runs in O(n.exp(5+epsilon)) bit operations for every epsilon > 0, compared to O(exp(n7+epsilon)) for the original LLL and to O(exp(n6+epsilon)) for the LLL-algorithms of Schnorr (1988) and Storjohann (1996). We present an even faster algorithm for SLLL-reduction via iterated subsegments running in O(n*exp(3)*log n) arithmetic steps.