Open Access

Adrian Koenigstein

• This thesis deals with several aspects of non-perturbative calculations in low-dimensional quantum field theories. It is split into two main parts: The first part focuses on method development and testing. Using exactly integrable QFTs in zero spacetime dimensions as toy models, the need for non-perturbative methods in QFT is demonstrated. In particular, we focus on the functional renormalization group (FRG) as a non-perturbative exact method and present a novel fluid-dynamic reformulation of certain FRG flow equations. This framework and the application of numerical schemes from the field of computational fluid dynamics (CFD) to the FRG is tested and benchmarked against exact results for correlation functions. We also draw several conclusions for the qualitative understanding and interpretation of renormalization group (RG) flows from this fluid-dynamic reformulation and discuss the generalization of our findings to realistic higher-dimensional QFTs. The topics discussed in the second part are also manifold. In general, the second part of this thesis deals with the Gross-Neveu (GN) model, which is a prototype of a relativistic QFT. Even though being a model in two spacetime dimensions, it shares many features of realistic models and theories for high-energy particle physics, but also emerges as a limiting case from systems in solid state physics. Especially, it is interesting to study the model at non-vanishing temperatures and densities, thus, its thermodynamic properties and phase structure. First, we use this model to test and apply our findings of the first part of this thesis in a realistic environment. We analyze how the fluid-dynamic aspects of the FRG realize themselves in the RG flow of a full-fledged QFT and how we profit from this numeric framework in actual calculations. Thereby, however, we also aim at answering a long-standing question: Is there still symmetry breaking and condensation at non-zero temperatures in the GN model, if one relaxes the commonly used approximation of an infinite number of fermion species and works with a finite number of fermions? In short: Is matter (in the GN model) in a single spatial dimension at non-zero temperature always gas-like? In general, we also use the GN model to learn about the correct description of QFTs at non-zero temperatures and densities. This is of utmost relevance for model calculations in low-energy quan- tum chromodynamics (QCD) or other QFTs in medium and we draw several conclusions for the requirements for stable calculations at non-zero chemical potential.
• Die Vorhersage von makroskopischen (thermodynamischen) Observablen aus mikroskopischen Theorien ist eine der zentralen Aufgaben in der Quantenfeldtheorie (QFT). Hierbei stellt insbesondere die Berechnung von Observablen in stark wechselwirkenden Systemen noch immer eine sehr große Herausforderung dar. Dies gilt insbesondere für Systeme bei nicht-verschwindenden (niedrigen) Temperaturen und großen Nettoteilchendichten, z.B. bei der Berechnung von Phasendiagrammen. Beispiele für solche Systeme finden sich sowohl im Bereich der (nicht-relativistischen) Festkörperphysik als auch der Hochenergiephysik. In letzterem Bereich ist insbesondere die Beschreibung der starken Kernkraft durch die Quantenchromodynamik (QCD) bei nicht-verschwindenden chemischen Potentialen und Temperaturen von besonderem experimentellem und theoretischem Interesse, da diese die Zustände von Kernmaterie maßgeblich bestimmt. In jedem Fall versagen im Kontext von stark wechselwirkenden Systemen bewährte störungstheoretische Ansätze. Diese liefern zwar für den Fall sehr kleiner Kopplungen herausragende Resultate, lassen sich jedoch nicht auf Systeme mit multiplen (unendlich vielen) Kopplungen beliebiger Größenordnung anwenden. In diesem Fall ist es notwendig, auf sogenannte nicht-perturbative Methoden zurückzugreifen. Neben der direkten numerischen Berechnung von Erwartungswerten über aufwendige Gitter-Monte-Carlo-Simulationen, welche jedoch häufig bei hohen chemischen Potentialen ihre Vorhersagekraft verlieren, bieten sich funktionale Methoden an. In dieser Arbeit ist die Funktionale Renormierungsgruppe (F(RG)) zur Berechnung von Korrelationsfunktionen von besonderem Interesse. Diese erlaubt das sukzessive Ausintegrieren von Quantenfluktuationen, startend bei der mikroskopischen Theorie im ultravioletten Energiebereich und endend bei einer effektiven makroskopischen Theorie und ihren Observablen im infraroten Energiebereich. Ursprüngliches Ziel dieser Arbeit war die Anwendung der FRG auf Niederenergiemodelle für QCD zur Beschreibung der Phasenstruktur von Kernmaterie bei moderaten Temperaturen und hohen Dichten, wie sie beispielsweise in kompakten Sternen vorliegen. Während der Arbeit stellte sich jedoch heraus, dass insbesondere zur Beschreibung von nicht-analytischen Strukturen, welche in den RG-Flussgleichungen, z.B. bei hohen chemischen Potentialen oder in der Nähe von Phasenübergängen, auftreten können, Weiterentwicklungen von bislang verwendeten (numerischen) Methoden für diese sehr speziellen, nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen (PDGen) notwendig wurden. Im Speziellen kann gezeigt werden, dass sich RG-Flussgleichungen (in bestimmten Modellen und Näherungen) in echte abstrakte fluiddynamische Gleichungen umformen lassen. So können z.B. RG-Flüsse von lokalen bosonischen Potentialen durch Advektions-Diffusions-Gleichungen mit Quellen und Senken beschrieben werden. In direkter Konsequenz kann nicht nur die Dynamik während des RG-Flusses im Feldraum voll fluiddynamisch interpretiert und analysiert werden, sondern auch auf die hochentwickelten Methoden aus der numerischen Strömungsmechanik für die Lösung der PDGen zurückgegriffen werden. Ein zentrales Ziel dieser Arbeit ist es daher, die fluiddynamische Formulierung von RG-Flussgleichungen weiterzuentwickeln und Methoden aus der numerischen Strömungsmechanik an diese anzupassen, anzuwenden und zu testen. Da jedoch die praktische Anwendung von FRG auf Quantenfeldtheorien fast immer Trunkierungen der (in der Regel unendlichen) Systeme von PDGen beinhaltet und häufig für realistische QFTen keine exakten Vergleichswerte berechnet werden können, ist es notwendig, hierfür Systeme zu betrachten, in welchen sowohl exakte Referenzwerte berechenbar sind als auch die FRG-Flussgleichungen exakt (untrunkiert) als PDG betrachtet werden können. Zugleich ist es für realistische Tests notwendig, hinreichend komplizierte Systeme zu verwenden.